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1、连续型随机变量,连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.,下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.,2.4.1 连续型r.v及其密度函数的定义,概率密度函数的性质,1 o,2 o,这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件.,连续型r.v取任一指定值的概率为0.,即：,a为任一指定值,这是因为,需要指出的是:,由此得，,1)对连续型 r.v X,有,2)由P(X=a)=0 可推知,而 X=a 并非不可能事件,并非必然事件,称
2、A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.,可见，,由P(A)=0,不能推出,由P(B)=1,不能推出 B=S,例2.8 设随机变量X的概率密度为,解,(1)由,于是X的密度函数为,(2),=1,所以得X的分布函数为,2.4.2常见的连续型随机变量的分布,由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确定.所以，若已知密度函数，该连续型 r.v的概率规律就得到了全面描述.,（1）若 r.vX的概率密度为：,则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：,X U(a,b),它的实际背景是：r.v X 取值在区间(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比.则 X 具有(a,b
3、)上的均匀分布.,1.均匀分布,均匀分布的分布函数为,事实上，,当 x a 时，,o,b,a,x,y,综合即得上式。,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差；,公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.,例1 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30,7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5 分钟的概率.,解：,依题意，X U(0,30),以7:00为起点0，以分为单位,为使候车时间X少于 5 分钟
4、，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为：,从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,则称 X 服从参数为 的指数分布.,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.,（2）若 r.v X具有概率密度,常简记为 XE().,2.指数分布,当X服从指数分布时，其分布函数为,例2.10 设随机变量X服从参数为q的指数分布，且P1X2=1/4，求q的值及分布函数。,解,因P1X2,故X的分布函数为,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.,正态分布在
5、十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.,德莫佛,德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.,3.正态分布,一、正态分布的定义,若r.v X的概率密度为,记作,f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.,其中 和 都是常数，任意，0，则称X服从参数为 m 和 s2 的正态分布.,正态分布 的图形特点,正态分布的密度曲线是一条关于 m 对称的钟形曲线.,特点是“两头小，中间大，左右对称”.,决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？,容易看到，f(x)0,即整个概率密度曲线都在
6、x轴的上方;,故f(x)以为对称轴，并在x=m 处达到最大值:,令x=+c,x=-c(c0),分别代入f(x),可得,f(+c)=f(-c),且 f(+c)f(),f(-c)f(),这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴.即f(x)以x轴为渐近线.,当x 时，f(x)0,用求导的方法可以证明，,为f(x)的两个拐点的横坐标.,x=,根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图.,用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图.,从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布.,下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图.,红线是拟合的正态密度曲线,可见，某
7、大学男大学生的身高应服从正态分布.,人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点.,除了我们在前面遇到过的年降雨量外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成年男子的身高、体重；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.,服从正态分布 的随机变量X的概率密度是,X的分布函数P(Xx)是怎样的呢？,正态分布由它的两个参数和唯一确定，当和不同时，是不同的正态分布.,标准正态分布,下面我们介绍一种最重要的正态分
8、布,二、标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,它的依据是下面的定理：,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,定理1,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.,三、正态分布表,表中给的是x0时,(x)的值.,当-x0时,若,N(0,1),若 XN(0,1),例,解 查表得,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时，,P(|X|1)=2(1)-1=0.6826,P(|X|2)=2(2)-1=0.9544,P(|X|3)=2(3)-1=0.9974,四、3 准则,将上述结论推广到一般的正态分布,时，,这在统计学上称作“3 准则”（三倍标准差原则）.,标准正态随机变量的a分位点,a,za,x,y,o,例2.12,解,（1）,（2）,例2.12,解,
