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1、1,2.4 随机变量的函数的分布,离散型,连续型,定理及其应用,2,一.随机变量函数的概念,设有函数,其定义域为随机变量X的一切可能,取值构成的集合，,如果对于X的每一个可能取值x，,个随机变量Y相应的取值为y=g(x),则称Y为X的函数。,另一,记为：,本节的任务是：,已知随机变量X的概率分布，并已知Y=g(X),要求随机变量Y的概率分布,3,二、离散型随机变量的函数,设X是离散型随机变量，其分布律：,因Y=g(X),则Y的概率分布为PY=g(xi)=pi,4,说明：,1.若随机变量X是离散型，则随机变量函数Y也离散型。,2.由于随机变量Y在取值上有可能相等，,则有,问：若随机变量X是连续型
2、，则随机变量函数Y是否连续型。,5,例1 设有随机变量X的分布律为,随机变量Y=X-1,试求Y的分布律,随机变量Y=X-1的可能取值是,由此得随机变量Y=X-1的分布律,6,例2 设有随机变量X的分布律为,所以，,PY=0,PY=1,PY=4,=PX=0+PX=2=0.3+0.4=0.7,=PX=-1=0.2,Y的分布律为：,=PX=1=0.1,随机变量Y=(X-1)2,试求Y的分布律.,随机变量Y=(X-1)2的可能取值是0,1,4,7,三、连续型随机变量函数的分布,设X是连续型随机变量，其概率密度函数为fX(x),而设y=g(x)是X的连续函数，Y=g(X)是连续型随机变量。,解 题 思
3、路,1.先求Y=g(X)的分布函数,.求Y=g(X)的密度函数fY(y)FY(y),利用Y=g(X)的分布函数与密度函数的关系,8,例3 设有随机变量X的概率密度函数为,解：(1)先求 Y=X-4 的分布函数 FY(y)：,随机变量Y=X-4,试求Y的概率密度,9,整理得Y=X-4 的概率密度为：,本例用到变限的定积分的求导公式,（）利用FY(y)fY(y)有，,10,例4 设有随机变量X的概率密度函数为,解：先求Y=X2 的分布函数 FY(y)：,求 Y=X2的概率密度.,不可能事件,因 FY(y)fY(y),11,说明：设 XN(0,1),其概率密度为：,则 Y=X2的概率密度为：,说明：
4、Y服从自由度为1的2-分布,12,定理 设X 是概率密度函数为fX(x)(aXb)的连续型随机变量，,量,其概率密度为,其它区间为零,(a可以是-,b可以是+).g(x)在(a,b)内严格单调,若函数其反函数x=h(y)有连续导数,则Y=g(X)是一个连续随机变,证明:,设随机变量Y=g(X)的分布函数为FY(y),则有,13,因随机变量X在区间(a,b)上变化时,随机变量Y在区间()上变化.其中,不妨设g(x)是严格单调增加的函数,14,例5 设随机变量XN(,2),试求随机变量Y=eX的,因为XN(,2),X的概率密度函数,15,例6 设随机变量XN(,2),试证明X的线性函数,Y=aX+
5、b（a不等于0）也服从正态分布。,证:X 的概率密度为,由定理得：,16,小结：1 一般情形下求随机变量函数的分布。2 在函数变换严格单调时利用定理求随机变量函数 的分布。,重点：掌握一般情形下求随机变量函数分布的方法：先求分布函数，再求导，求随机变量函数的概率密度。,17,1 会用随机变量表示随机事件。2 理解分布函数的定义及性质，要会利用分布 函数表示事件的概率。3 理解离散型随机变量及其分布率的定义、性 质，会求离散型随机变量的分布率及分布函 数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分 布、二项分布、泊松分布。4 理解连续型随机变量及概率密度的定义、性 质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其 运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀 分布、指数分布和正态分布。5 会求随机变量的简单函数的分布。,本章要求：,18,作业：,P59,33,35,36,37,
