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1、,第三章 系统的时间响应分析p.82,方法的实质,直接解系统的运动微分方程式,时间域的 微分方程,拉氏变换,复数域的 代数方程,复域解,时域解,拉氏反变换,瞬态解 自由解 瞬态响应,稳态解 强迫解 稳态响应,控制系统的时域分析就是在时间域内，直接求解描述系统性能的运动微分方程或动态方程，它们的解就是系统的输出响应，亦称为时间响应。,无阻尼单自由度M-K系统），在外力Fcost作用下，其微分方程为 其解为 y(t)=y1(t)+y2(t)即 通解+特解 y1(t)=Asinnt+Bcosnt y2(t)=Ycost式中：n为系统的无阻尼固有频率。,3.1 时间响应及其组成,m,k,Fcost,代
2、入求得特解 则完全解为 代入初始条件，可求得A,B,这一单自由度的质量弹簧系统，在外力 作用下，其响应函数的前二项与激励信号无关，故称为零输入响应；而后二项与激励信号有关，故称为零状态响应。以激励频率划分，则有自然响应（前三项）和强迫响应之分。控制工程主要研究系统的零状态响应。,一 零状态响应和零输入响应,控制系统的时间响应,零状态响应,零输入响应,仅有激励而初始 状态为零的响应,仅有初始状态而激 励为零时的响应,若将系统的初始状态看成系统的另一种输人激励，则对于线性系统，根据系统的线性特性，其输出总响应必然是每个输入单独作用时相应输出的叠加。,系统的零状态响应,等号右边的第一项是系统的自然响
3、应，其变化规律只取决于系统函数G的极点在s平面的位置，体现了系统本身的特点，与激励函数的形式无关，其中的每一项称为自然响应模式；第二项是系统的强迫响应，其变化规律只取决于输入激励u的极点在S平面的位置，即输入信号的性质。,零状态响应为：,设系统输入为：,设系统传递函数为：,若函数中不含有多重极点，可展成部分分式:,取拉氏反变换，得到零状态响应:,零状态响应的模式由 系统G（s）和输入u（s）的极点共同确定。,瞬态响应和稳态响应p.84-85,若u(s)的极点实部大于或等于零，或者极点在原点，仍假定G(s)具有负实部的极点，在此情况下，自然响应就是瞬态响应，强迫响应就是稳态响应（即不等于零）。,
4、瞬（暂）态响应和稳态响应,系统的完全响应y(t)还可以分为瞬态响应和稳态响应。随着时间t的增大而衰减为零的部分为瞬态响应，其余部分为稳态响应。瞬态响应与G(s)和u(s)都有关系。,当G(s)和u(s)的极点都在S域左半平面时，瞬态响应等于自然响应与强迫响应之和，稳态响应等于零。,控制系统时间响应的求解,实质：用拉普拉斯反变换求解系统运动微分方程 求系统的零状态响应，可按下列步骤进行：(1)设初始条件为零，对高阶微分方程进行拉氏变换；(2)求解关于s的代数方程，得输出响应的拉氏变换Y(s)；(3)对y(s)进行部分分式展开；(4)取反变换后，得到y(t)。,例1 已知系统的传递函数，输人为单位
5、阶跃函数，初始条件均为零。求系统的输出响应。,解：根据传递函数定义有：,阶跃输入的拉氏变换为：,部分分式展开：,待定系数的求法：用 乘上式两边，取spi的极限。,注意：系统传递函数的两个极点在指数上。第一项是稳态响应，是阶跃函数；后两项是瞬态响应，因系统极点具有负实部，随着时间的增加将逐渐衰减为零。极点距s平面虚轴越远衰减越快。结论：系统极点决定了系统瞬态响应的特性。,取反变换后，得到y(t),系统的零点对响应的影响,可见，尽管这两个系统的极点相同，但由于零点不同，它们的响应截然不同，系统1有超调。,例2,已知两个系统的传递函数,单位阶跃响应分别为,系统的零点影响系统响应曲线的形状。,结论,小
6、结,1、时间响应的直接求解及一般表达式：微分方程的解以及零输入和零状态时间响应。2、复域的代数解及分析,3.2 典型输入信号 p85-86,控制系统必须具有良好的动态特性，从而使系统能迅速跟踪参考输入信号，并且不产生剧烈的振荡。因此，对系统动态性能进行分析，改善瞬态响应是自动控制的核心工作。,为了衡量系统的动态性能，同时能对不同系统的性能进行比较，通常在实验研究过程中一般采用单位脉冲、单位阶跃等函数作为测试信号p.86。相应地，系统的响应称为单位脉冲或阶跃响应。,(1)阶跃函数,A=1时，称为单位阶跃函数，记为,单位阶跃函数的拉氏变换为Xr(s)=L1(t)=1/s 在t0处的阶跃信号，相当于
7、一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。,A=1时，称为单位斜坡函数,(2)、斜坡函数,式中A为常数。该函数的拉氏变换是Xr(s)=LAt=A/s2这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A。当Al时，称为单位斜坡函数.,A=1/2时，称为单位加速度函数,(3)、加速度函数,式中A为常数。这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号，该恒加速度为A。抛物线函数的拉氏变换是Xr(s)=LAt2=2A/s3当A1/2时，称为单位抛物线函数，即Xr(s)=1/s3。,当 A=1
8、时，则称为单位脉冲函数或 函数。,(4)、脉冲函数,式中A为常数，为趋于零的正数。脉冲函数的拉氏变换是当A1，0时，称为单位脉冲函数(t)，如图 所示。单位脉冲函数的面积等于l.,当用正弦函数作输入信号，可以求得系统对不同频率的正弦输入函数的稳态响应，由此可以间接判断系统的性能。,(5)、正弦函数,3.3 一阶系统的响应分析(1)单位脉冲响应当系统的输入信号xi(t)是理想的单位脉冲函数(t)时，系统的输出xo(t)称为单位脉冲响应函数w(t)。,一阶系统的单位脉冲响应函数是一单调下降的指数曲线。如果将曲线衰减到初值得2%之前的过程定义为过渡过程，则可计算相应的过渡过程响应时间为4T。一阶系统
9、惯性大，过渡过程时间长。,(2)一阶系统的单位阶跃响应p.88,响应分析：,对比单位脉冲与单位阶跃响应可知P.89,1、2、3、有,如果输入函数等于某一函数的微分,则该输入函数的响应函数也等于这一函数的响应函数的微分.,3.4 二阶系统的响应分析P.89,二阶系统结构如图,二阶系统闭环传递函数为,(1)二阶系统的传递函数,(2).二阶系统闭环极点的分布P.89-90,根据系统阻尼比的值，二阶系统有：,(3)二阶系统的单位阶跃响应,系统在s左半平面上有一对共轭复数极点,欠阻尼系统,欠阻尼系统的瞬态响应是正弦衰减振荡，衰减的快慢与系统极点的负实部有关，距虚轴越远，衰减越快；振荡频率取决于极点的虚部
10、。阻尼比影响振荡的程度。,无阻尼系统,有一对共轭虚极点，响应是等幅振荡曲线,临界阻尼系统,过阻尼系统,两个相同的负实数极点，两个相同的惯性环节的串联,有两个负实数极点,单调上升曲线,单调上升但不会超过稳态值，响应是非振荡的。两个极点中离s平面原点较远的极点对应的瞬态分量幅值较小，衰减较快。,随着阻尼比的增大，其中一个极点将越来越远离s平面原点，其幅值越来越小，衰减越来越快(p.90)；而另一个极点越来越靠近原点，其幅值越来越大，衰减越来越慢。当阻尼比1时，式右边最后一项可以忽略，二阶系统可以用靠近原点的那个极点所表示的一阶系统来近似分析。,图3.4.3 二阶系统单位阶跃响应,二阶系统阶跃响应分
11、析结论,响应特性与闭环极点位置有关：闭环极点具有一对共轭复数:时间趋向无穷大时，瞬态响应趋于零，系统稳定。具有一对相等或不等的负实数极点：响应是单调上升曲线，系统稳定。具有一对共轭虚极点：等幅振荡曲线，系统临界稳定。响应的快慢与极点 距离虚轴的远近有关：极点距离虚轴近，对应的响应模式衰减慢；距离越远衰减越快。阻尼比 和无阻尼自然频率n确定了系统动态特性(见式和3.4.21;见P.97文字)阻尼比确定了系统响应振荡特性响应平稳性。越小，响应振荡越剧烈；越大，响应越缓慢呆滞。无阻尼自然频率 n 确定了系统瞬态响应过程时间响应快速性。n越小，即时间常数T越大，响应就慢，反之，n越大，即时间常数T越小
12、，响应就越快。响应快速性与响应平稳性是相互矛盾的。,（4）二阶系统时域动态性能指标p.93,性能指标由单位阶跃输入的响应给出.原因有,一是产生阶跃输入信号容易实现;二是该信号往往是实际中最不利的输入情况.为了提高响应速度,一般在设计二阶系统时,通常都允许系统有适度的震荡,即使系统在欠阻尼状态(0.4-0.8)下工作.二阶系统时域动态性能指标是针对欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的过渡过程而言.,图 二阶系统响应的性能指标p.94,最大超调量:相对稳定性,响应平稳性,阻尼程度,时间指标：响应的快速性。注意：响应的平稳性与快速性是相互矛盾的。,时域动态性能指标概念与定义,峰值时间tp：响应曲线第一次到
13、达最大峰值所需时间。调节时间ts：系统阶跃响应曲线进入并保持在稳态值%允许误差范围内的最小时间。%取稳态值的2%或5%，根据系统所完成的任务而定。调节时间又称调整时间、过渡过程时间。,超调量Mp：又称最大超调量，反映系统响应振荡的剧烈程度。,振荡次数N：在调节时间ts内，响应曲线振荡的次数。,在上述指标中，调节时间和超调量反映了对系统动态性能最重要的要求：响应快速性和相对稳定性。,欠阻尼二阶系统时域性能指标计算,只有二阶系统可以推导出上述性能指标的解析式，其他系统只能从响应曲线、仿真结果中获取相应指标数值。延迟时间、上升时间、峰值时间和调节时间或式都是系统无阻尼自然频率和阻尼比的函数，当阻尼比
14、给定时，系统自然频率越高，这些时间指标越短，系统响应越快。超调量式仅仅是阻尼比的函数。在设计二阶系统时,一般取阻尼比=0.707系统有最佳动态特性,不仅动态过渡过程时间短,而且超调量也小(P.96).,性能指标计算公式,二阶系统计算举例,例1(p.97)求单位阶跃信号输入时的tp，Mp，ts。,例2(P.98)如图为在质量快m上施加8.9N阶跃力后的时间响应，求系统的m，k和c值。,解 由图可知(可以阅读P.297的一段文字来增加对该例题的理解),例3 如图所给系统，求（1）测试系统输入单位阶跃函数时是否满足Mp5%；（2）对不满足性能要求的系统进行修正,增加一微分反馈，求微分反馈的时间常数。
15、（该题涉及到系统的综合与校正P.199）,校正后,校正前,3.5 高阶系统 p.100,不失一般性，高阶系统的闭环传递函数可表示为：,当输入为阶跃函数时，输出可表示为：,通过拉氏反变换，输出响应可表示为：,P.101：一个高阶系统可以看成是多个一阶环节和二阶环节的叠加。各环节的响应，由结构参数和系数（增益）决定，即与零、极点的分布有关。分析结论有三,结论1：当系统闭环极点全部在S平面的左半平面，则系统总是稳定的，各分量衰减的快慢，由各分量结构参数决定。,结论2：各分量的幅值Aj、Dk，与极点离虚轴的距离有关，越远，则幅值越小，对动态响应的影响越小；另外，当极点与零点很近时，对应项的幅值也很小，
16、这对零、极点对系统的过渡过程的影响也很小。,结论3：如果高阶系统中离虚轴最近的极点，其实部小于其他极点实部的五分之一，且附近没有零点，可以认为系统的动态响应由该极点决定。,主导极点(p.101),当某极点（一对共轭极点）离虚轴很近，其余极点实部之模大于该极点（该对共轭极点）实部模的5倍以上时，则其他极点对应的响应持续时间很短，系统输出响应可以近似地视为该极点（该对共轭极点）所产生，其余极点以及偶极子(当闭环零、极点很靠近时的对)对应的响应可以忽略不计。该极点（该对共轭极点）称为系统的主导极点。,举例:对应图高阶系统的降阶,已知系统的闭环传递函数为：,四个闭环极点为：,单个闭环零点为：,消去偶极
17、子和远极点后得到降阶的传递函数：,图3.5.1 系统极点位置及脉冲响应,小结,1、为了衡量系统的动态性能，同时能对不同系统的性能进行比较，通常采用单位阶跃函数作为测试信号；2、欠阻尼系统的瞬态响应是正弦衰减振荡，阻尼比确定了系统响应平稳性。无阻尼自然频率 n 确定了系统响应快速性。响应快速性与响应平稳性是相互矛盾的。3、在设计二阶系统时阻尼比一般取0.707，有最佳动态性能。4、高阶系统降阶处理主导极点的概念.,三 用Matlab求系统响应,步骤1：启动Matlab,步骤2：设置工作文件路径,步骤3：打开文件编辑窗口，输入、编辑文件并存盘。,下图示例中传递函数为：,步骤4：运行文件，显示结果。
18、,例2,降阶前后阶跃响应对比。,3.6系统误差分析与计算p.102,控制系统的控制精度用稳态误差来表征，稳态误差越小控制精度越高。稳态时系统的误差分为原理性误差和结构性误差：与系统型号、输入信号性质有关的误差称为原理性误差，而因制造、间隙、死区等造成的误差是结构性误差。这里仅仅讨论原理性误差。,误差与偏差的定义、关系,决定系统稳态误差的因素,稳态误差的计算方法,3.6.1 系统误差与偏差的概念与关系,系统误差是以系统输出端为基准，是控制系统期望输出与实际输出之差。,e(t)=xor(t)-xo(t),Laplace变换后得 E1(s)=Xor(s)-Xo(s),系统偏差是以系统的输入端为基准，
19、是给定输入与反馈量之差。(t)=xi(t)-b(t),Laplace变换后得 E(s)=Xi(s)-B(s)=Xi(s)-H(s)Xo(s),当Xor(s)Xo(s)，E(s)0，E(s)就起控制作用；当Xor(s)=Xo(s)，E(s)=0，E(s)就不起控制作用。所以 E(s)=Xi(s)B(s)=Xi(s)H(s)Xo(s)=Xi(s)H(s)Xor(s)Xi(s)H(s)Xor(s)=0 Xi(s)=H(s)Xor(s)或 Xor(s)=Xi(s)/H(s)E(s)=Xi(s)H(s)Xo(s)=H(s)Xor(s)H(s)Xo(s)所以 E(s)=H(s)E1(s)或 E1(s)=E
20、(s)/H(s)由上可知，求出偏差E(s)后即可求出误差，对单位反馈系统来说，偏差与误差相同。,误差e(t)的传递函数,在一般情况下，设输入Xi(s)与干扰N(s)同时作用于系统。,有误差传递函数（反映了系统结构参数对误差的影响）：,3.6.3 系统的稳态误差与稳态偏差稳态误差稳态偏差,3.6.4 与输入有关的稳态偏差,由上可知,稳态偏差不仅与系统的特性有关,而且与输入信号的特性有关。先看系统结构即G(s)H(s),(3.6.10),(3.6.11),对于一般闭环系统(图3.6.3),一般有计算式,V为积分环节的个数，表征了系统的结构特征。v=0,1,2,时分别称为0型，1型和2型系统。V愈高
21、，稳态精度愈高，但稳定性愈差，因此一般不超过3型。,（1）当输入为单位阶跃信号(xi(t)=1,Xi(s)=1/s)时，系统的稳态偏差,对于单位阶跃信号，为了减少系统误差，可以调整K。,（2）当输入为单位斜坡信号(xi(t)=t,Xi(s)=1/(s*s)时，系统的稳态偏差,（3）当输入为加速度信号时，系统的稳态偏差为,当输入为单位斜坡信号时,I型系统的响应,当输入为加速度信号时,型系统的响应,表3.6.1 在不同输入时的不同类型系统中的稳态偏差,3.6.5、与干扰有关的稳态偏差,系统在扰动作用下的稳态偏差反映了系统的抗干扰能力，此时不考虑给定输入作用，即Xi(s)=0，只有干扰信号N(s)。
22、,考虑单位反馈系统，并考虑阶跃干扰的形式N(s)=1/s。,（1）当G1(s)及G2(s)都不含积分环节时，即，v1=v2=0，有 可见，增大K1，则偏差减小，而增加K2，则偏差更大。但是当K1比较大时，K2对偏差的影响不显著，即,（2）当G1(s)含一个积分环节，G2(s)不含积分环节时，即，v1=1，v2=0，有,（3）当G1(s)无积分环节，G2(s)含一个积分环节时，即，v1=0，v2=1，有,综上所述，为了提高系统的准确度，增加系统的抗干扰能力，必须增大干扰作用之前的回路的放大倍数K1，以及增加这一段回路中的积分环节的数目。而增加干扰作用点之后到输出量之间的这一段回路的放大系数K2或增多这一段回路中积分环节的数目，对减小干扰引起的误差是没有好处的。,小结,1、系统误差-考虑原理性误差2、系统偏差与误差的关系；3、针对典型的闭环控制系统有误差传递函数；4、可运用拉普拉斯积分变换的终值定律求出系统稳态误差；5、考查开环系统的积分因子的个数。,习题p.120,3.1,2,33.53.7,12,15,17,20,24,
