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1、1,第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,5.1矩阵特征值，特征向量，相似矩阵5.2 矩阵可对角化的条件5.3 实对称矩阵的对角化,5.1 特征值与特征向量 相似矩阵,1.特征值和特征向量的概念2.特征值和特征向量的计算方法3.特征值和特征向量的性质4.相似矩阵的概念和性质,一、特征值和特征向量的概念,定义 设A为n阶方阵,如果存在数及非零向量X,使得AX=X.则称为A的特征值,非零向量X称为A的对应于特征值的特征向量.,注:特征向量非零.,AX=X,(IA)X=0,其有非零解的充要条件是:|IA|=0(1),方程|IA|=0称为A的特征方程.,|IA|=n+k1n1+kn1+kn是的n次多
2、项式,称为A的特征多项式.,设n阶方阵A=(aij)的特征值为1,2,n,则有,(1)1+2+n=a11+a22+ann,(2)12n=|A|,称为A的特征矩阵.,226页定理5.2,(1)为A的特征值为特征方程|IA|=0的根,二、特征值和特征向量的计算方法,AX=X(IA)X=0,(2)在复数范围内,n阶方阵有n个特征值.,(3)若=i为A的一个特征值,则由方程组(iIA)X=0的非零解X=Pi就是A的对应于i的特征向量.,(4)若Pi为A的对应于i的特征向量,则kPi(k0)也是对应于i的特征向量.,求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤:,(1)求A的特征方程|IA|=0的所有解1,2,
3、n,即为A的全部特征值,(2)对每一个特征值i(i=1,2,n),求出齐次线性方程组(iIA)X=0的基础解系,便是A的对应于i的线性无关的特征向量,而对应于i的全部特征向量就是此基础解系的所有非零线性组合.,例1 求对角方阵=的特征值.,解:,的特征多项式:,|I|=,=(1)(1)(n),的特征值为:1,2,n,例2 求矩阵 的特征值和特征向量.,解:,|IA|=,=(5)(+1)2,A的特征值为:1=5,2=3=1,5IA=,基础解系:,对应于1=5的全部特征向量为:k1P1(k10),1=5:,解方程组(5IA)X=0,IA=,基础解系:,对应于2=3=1的全部特征向量为:k2P2+k
4、3P3(k2,k3不全为0),2=3=1:,解方程组(IA)X=0,11,定理：若是矩阵A的特征值,X是A的对应于的特征向量,则(1)k是kA的特征值；(2)m是Am的特征值(m是正整数);(3)是AT的特征值；(4)当A可逆时,1是A1的特征值,1|A|是A*的特征值；(5)若f(x)是x的多项式,则f()是f(A)的特征值,特征向量保持不变,m是矩阵Am的特征值,且X是Am的对应于m的特征向量.,证：(2),再继续施行上述步骤m2次,就得,AX=X,A(AX)=A(X),=(AX),=(X),A2X=2X,AmX=mX,(4)当A可逆时,0,AX=X,A1(AX)=A1(X),=A1X,X
5、=A1X,1X=A1X,1是矩阵A1的特征值,且X是A1的对应于1的特征向量.,定理 设矩阵A,如果,是A的对应于两个不同特征值的特征向量,则与线性无关.,三、特征值和特征向量的性质,证,设,分别是特征值1,2(12)所对应的特征向量,则有A=1,A=2,假设有数k1,k2,使得 k1+k2=0(1),同时左乘A,得:,k1(A)+k2(A)=0,k11+k22=0(2),(2)2(1)k1(12)=0,12,0,k1=0,同理可得k2=0,与线性无关,定理 如果1,2,r是矩阵A的不同特征值,而i1,i2,是A的对应于特征值i(i=1,2,r)的线性无关的特征向量,则向量组11,12,21,
6、22,r1,r2,也线性无关.,推广 设1,2,r是矩阵A的对应于不同特征值1,2,r的特征向量,则1,2,r线性无关.,注:,(1)对应于不同特征值的特征向量是线性无关的,(2)对应于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是对应于这个特征值的特征向量.,(3)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量不能对应于不同的特征值,17,定义 设A、B都是n阶方阵,如果存在可逆矩阵P,使得P1AP=B,则称B是A的相似矩阵,或者说A与B相似,记为AB.可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.,(2)对称性:若AB,则BA,四、相似矩阵的概念和性质,相似满足
7、:,(1)反身性:AA,(3)传递性:若AB,BC,则AC,18,定理 若A与B相似,则(1)A与B有相同的特征多项式;(2)A与B有相同的特征方程;(3)A与B有相同的特征值.,证:,若A与B相似,即存在可逆矩阵P,使得 P1AP=B,B的特征多项式:,|IB|=,|IP1AP|,=|P1(I)PP1AP|,=|P1(IA)P|,=|P1|IA|P|,=|IA|P1|P|,=|IA|P1P|,=|IA|,19,(4)相似矩阵有相同的行列式.,P1AP=B,|P1AP|=|B|,|P1|A|P|=|B|,|A|P1|P|=|B|,|A|P1P|=|B|,|A|=|B|,换言之:若有可逆矩阵P,
8、使得P1AP=,则1,2,n是A的特征值.,20,（5）相似矩阵有相同的秩,231页性质,21,分析:,若P,|P|0,使得 P1AP=,问题:对n阶方阵A,如何求相似矩阵P,使得 P1AP=?,记P=(P1,P2,Pn),5.2 矩阵可对角化的条件,22,P1AP=,AP=P,A(P1,P2,Pn),(AP1,AP2,APn)=(1P1,2P2,nPn),APi=i Pi(i=1,2,n),i为A的特征值,而Pi就是A的对应于i的特征向量.,P可逆A有n个线性无关的特征向量.,23,注:,(1)A有n个线性无关的特征向量P1,P2,Pn,从而有,定理 n阶方阵与对角矩阵相似A有n个线性无关的
9、特征向量.,推论 设n阶方阵A有n个不同的特征值,则A必与对角矩阵相似.,则P=(P1,P2,Pn)可逆.,24,定理:n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数.,25,(2)A未必能与相似.,如果A的特征方程有重根,此时A不一定有n个线性无关的特征向量,从而矩阵A不一定能对角化,但如果能找到n个线性无关的特征向量,还是能对角化.,26,求可逆矩阵P,使得A与对角矩阵相似的步骤:,(1)由A求出特征值i(i=1,2,n),(2)求出对应于i的特征向量Pi(i=1,2,n),(3)作出矩阵P=(P1,P2,Pn),则AP=P,(4)若P可
10、逆,则P1AP=.,即A与相似.,27,例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵?,A有三个不同的特征值,解:(1),|IA|=,=(+1)(9),A的特征值为:1=0,2=1,3=9,A可对角化.,28,(2),|IA|=,=(1)3,A的特征值为:1=2=3=1,解方程组(IA)X=0,基础解系:,A不能对角化.,29,|IA|=,=(2)2(+7),A的特征值为:1=2=2,3=7,解方程组(2IA)X=0,基础解系:,(3),解方程组(7IA)X=0,30,A有三个线性无关的特征向量,A可对角化.,基础解系:,31,例2 设,判断A是否可以对角,A的特征值为:1=5,2=3=1,解:,化,若
11、可以对角化,求出可逆阵P,使得P1AP 为对角阵,并求A100.,32,A有三个线性无关的特征向量,A可对角化.,令,则有P1AP=,33,(3),34,35,5.3 实对称矩阵的对角化,1.实对称矩阵特征值的相关性质2.求正交矩阵的方法,36,共轭矩阵,性质:,如果A=(aij)为复矩阵时,用 表示aij的共轭复数,记.则称 为A的共轭矩阵.,(其中为复数),37,aij全为实数,aij=aji,此时A称为实对称矩阵.,性质1 实对称阵的特征值全为实数.,一、实对称矩阵特征值的相关性质,对称阵,AT=A,38,性质2 设A是实对称矩阵,则对应于A的不同特征值的特征向量必正交.,证:,设1,2
12、是实对称矩阵A的两个不同的特征值,是相应的特征向量,A=1,A=2,1(,),=(1,),=(A,),=TAT,=(,A),=2(,),(12)(,)=0,12,(,)=0,即与正交,=(A)T,=TA,=(,2),39,定理 设是实对称矩阵A的k重特征值,那么对应于的所有特征向量中,其极大线性无关组所包含的向量个数恰为k.,推论 实对称矩阵必与对角矩阵相似.,故n阶实对称矩阵必有n个线性无关的特征向量.,40,求正交矩阵的具体步骤为:,二、求正交矩阵的方法,(1)求出n阶实对称矩阵A的所有特征值1,2,n,(2)解齐次线性方程组(iIA)X=0,求出A的n个特征向量P1,P2,Pn,(3)将P1,P2,Pn正交标准化得e1,e2,en,(4)写出正交矩阵T=(e1,e2,en),244页总结,41,例1 设,求一正交矩阵T,使T1AT=,解:,A的特征值为:1=5,2=3=1,42,将P2,P3正交化:,取2=P2,将P1,2,3单位化,得:,43,将e1,e2,e3构成正交矩阵:,有:,
