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1、第六章 二次型与对称矩阵,二次型及其对称矩阵在数学理论、数值计算及工 程应用中都占有重要地位。,1 二次型及其矩阵,在解析几何中，为了便于研究二次曲线,的几何性质，我们可以选择适当的坐标变换：,把方程化为标准形,(1)的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它只有平方项。这样的问题，在许多理论问题或是实际问题中常会遇到。,现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题。,4.1 二次型概念,定义1.1 含有n个变量x1,x2,xn的二次齐次函数,其中,（2）,1、二次型的矩阵形式,其中,1）称A为二次型 f
2、的矩阵，显然 A=AT;2）A=(aij),若 aij 为复数，称 f 为复二次型；3）A=(aij),若 aij 为实数，称 f 为实二次型；4）称R(A)为二次型 f 的秩,记为R(f)。,（3）,例 1.把下面的二次型写成矩阵形式：,例2.(书P168）,2、线性变换,定义1.2 把变量x1,x2,xn化为变量y1,y2,yn的一组线性关系式,叫做由变量x1,x2,xn化为变量y1,y2,yn的 一个线性变换。,若记,则线性变换可表示为,x=Py（4）,上式中的矩阵P称为该变换的系数矩阵。当P可逆时，（4）称为可逆的线性变换；当P不可逆时，（4）称为不可逆的线性变换。当线性变换（4）可逆
3、时，线性变换,y=P-1x(5),称为（4）式的逆变换。,设x=Py是可逆的线性变换将二次型化为,f=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y。,则称矩阵A、B合同（或相合），记为。对方阵A进行的运算PTAP称为对A的合同变换，P称为合同因子。,PTAP=B,定义1.3 对于n阶矩阵A、B,如果有n阶可逆矩阵P使得,令 B=PTAP，则B是对称矩阵，yTBy是新变量y1,y2,yn的一个二次型。变换前后两个二次型矩阵A、B间的这种关系称为合同关系。,注：合同必等价，反之不真。,显然，合同矩阵具有如下性质：,2）对称性：若，则;,1）反身性：；,3）传递性：若，,则;,4）若，则R(A)=R(B
4、);,5）若，且A为对称矩阵，则B亦为 对称矩阵。,f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yTPTAPy=yTBy。,显然，如果二次型xTAx经可逆的线性变换 x=Py化为二次型 yTBy，则必有，即,合同与相似是两个互相独立的概念。合同的矩阵未必相似，相似的矩阵也未必合同。（参见P170(A)3、4题）但是，对于实对称矩阵A，当合同因子P是正交矩阵时，由于P-1=PT，所以对A的合同变换与相似变换是一致的。,综上所述，二次型f(x)=xTAx能用可逆的线性变换x=Py化为yTBy的充分必要条件是有可逆矩阵P，使PTAP=B。,2二次型的标准形,定义2.1 称只含有平方项(不含交叉项)的二
5、次型,为二次型的标准型（或法式）。,（6）,显然，一个二次型为标准形的充分必要条件是它的矩阵为对角矩阵。,所谓一般二次型的化简问题，就是寻找一个可逆的线性变换：,即,定理2.1 设A为n阶对称矩阵，二次型f(x)=xTAx能用可逆线性变换x=Py化为标准形（6）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵P使PTAP=B=diag(b1,b2,，bn).,定理2.1告诉我们，二次型经可逆线性变换化为标准形的问题与对称矩阵化为对角矩阵的问题实质上是同一问题。,显然，经可逆变换 x=C y 把 f 化成 yTC TACy，C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。,2.1 用正交变换化实二次型为标准形,定
6、理2.2 对于任意的n元二次型f(x)=xTAx，必有正交变换x=Py，使f化为标准形,其中1,2,，n恰是A的全部特征值。,（书P171）,应用定理2.2求实二次型f(x)=xTAx标准型问题，其实质上就是用正交变换化实对称矩阵A为对角矩阵的问题。,其中1,2,，n恰是A的全部特征值。由定理2.1便知定理成立。,PTAP=P-1AP=diag(1,2,，n)，,证明 由于A为n阶对称矩阵。由第五章定理5.3知有n阶正交矩阵P，使得,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：,解 1）二次型的矩阵为,例1.求一个正交变换x=Py，把二次型,（P171例2.1）,得A的特征值为1=-3，2=3=4=
7、1，,由(A-E)x=0,求A的全部特征向量，当1=-3时，解方程(A-3E)x=0.,得基础解系,单位化，得,k2,k3,k4不同时为零.,取,单位化，得,（4）令P=(p1,p2,p3,p4),于是得正交变换x=Py,即,5）用正交变换x=Py将f化成标准形,例2 试求实二次型,的标准形。不要求给出所用的可逆线性变换。,解 实二次型 f 的矩阵为,依题意，只要求出A的特征值就可以了。由,（P173例2.3）,2.2 用拉格朗日配方法化二次型为标准形,解 由于 f 中含有的平方项，故把含有 x1 的项归为一类，配方得：,所用的线性变换为,则该变换把f化成标准形为,解 在f中不含有平方项，由于
8、含有x1,x2的乘积项，故令,成标准型，并求出所用的可逆的线性变换.,例4.用配方法化二次型,（P175例2.5）,代入可得,所用的线性变换为,则该变换把f化成标准形,说明：用配方法化二次型为标准形的 关键在于消去交叉项。,一般有以下两种情形：,（1）二次型中含某变量 的平方项和交叉项，先集中含 的交叉项，然后与 配方，化成完全平方，令新变量代替各个平方项中的变量，即可作出可逆的线性变换，同时立即写出她的逆变换（即用新变量表示旧变量的变换），,需要注意的是：每次只能对一个变量配平方，余下的项中不应再出现此变量，以保证所做的变换是可逆变换。,再对剩下的变量同样进行，直到各项都化为平方项为止。,（
9、2）二次型中没有平方项，只有交叉项，则先利用平方差公式构造可逆线性变换，化二次型为含平方项的二次型，如当 的系数 时，则令,说明:任何二次型都可以用配方法化为标准形.,定理2.3 任何二次型必可经过可逆线性变换化 为标准形.,定理2.4 任何对称矩阵必可合同于对角矩阵.,小结,将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩,化为标准型，并指出 表示何种二次,曲面.,求一正交变换，将二次型,思考题,思考题解答,
