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1、3.4 线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组,二、非齐次线性方程组,返回,一、齐次线性方程组,即 AX=0,平凡解：X=0(零解),设 A=(1,2,n),则下列命题等价：,1o 1,2,n线性相关;,2o AX=0有非零解;,1.AX=0 解的判定条件,（1）若R(A)n,则AX=0有非零解；,（2）若R(A)n,则AX=0只有零解.,注：若A为方阵，则（1）若det(A)=0,则AX=0有非零解；（2）若det(A)0,则AX=0只有零解.,2.解的性质（解向量）,（1）AX=0 的两个解向量的和仍为AX=0的解.,（2）AX=0 的一个解向量的常数倍仍为AX=0的解.,（3）AX=0
2、的解向量的线性组合仍为AX=0的解.,W=XRn|AX=0,为Rn的子空间,（1）定义：W 的一组基.,1o 1,2,s 线性无关;,则称1,2,s为AX=0 的一个基础解系.,2o AX=0的任一解向量均可由1,2,s 线性表出,定理1 设R(A)=r n,则AX=0有基础解系且所含向量个数为n-r,即dimW=n-r,这里n为方程组未知数个数.（具体举例说明）,3.解空间,4.基础解系（最大无关组）,（2）构成条件：,（3）求法（含在证明中）：,例1 求方程组的基础解系,解:,(2)得同解方程组,(x3,x4为自由未知量),(3)求基础解系（对自由未知量取值）,（求得两个解）,（证明这样的
3、解构成基础解系）,设1,2,n-r 为AX=0 的一个基解系，则 AX=0 的解，=k11+k22+kn-rn-r,k1,k2,kn-r R.,（1）AX=0 的基解系一般不惟一，但其任一基解系中所含向量个数必为 n(未知数个数)-R(A).,AX=0 的 通解,（2）若AX=0有非零解，则必有无穷多个解.,5.通解,注：,6.AX=0的解法（四步）,（2）写出同解方程组（基本未知量、自由未知量）,（3）求基础解系（对自由未知量取值）,（4）写出通解,例1 求方程组的通解,解,(2)得同解方程组,(x2,x4为自由未知量),(3)基础解系为,(4)通解为,例2 解,解,r(A)=3=n,只有零
4、解 X=0,例3 解,解,得同解方程组,(x3为自由未知量),基础解系为,方程组通解为,例4 证明：与AX=0基础解系等价的线性无关的向量组也是该方程组的基础解系.,证 两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相等.,设1,2,s 是AX=0基础解系，1,2,s与之等价.,1,2,s可由1,2,s 线性表出，所以是AX=0的解；,AX=0的任一解X 可由1,2,s 线性表出，,故，1,2,s 是AX=0的基础解系.,又1,2,s可由1,2,s线性表出，所以X 可由1,2,s 线性表出；,例5 设n阶矩阵A,B满足AB=O,证明：R(A)+R(B)n.,证,设 B=(b1,bn),则,AB=A(b
5、1,bn)=(A b1,Abn)=O,A bi=0,i=1,n.,bi(i=1,n)为AX=0的解，所以可由基础解系1,2,n-r(r=R(A)线性表出.,所以,R(B)=秩(b1,bn)秩(1,2,n-r)=n-R(A).,即 R(A)+R(B)n.,第二章 2.5,例5 设A为n阶矩阵(n2)，证明,证 若R(A)=n:,R(A)n-1:,detA0，,A中所有n-1阶子式均为零，,二、非齐次线性方程组,即 AX=b,设 A=(1,2,n),即,x11+x22+xnn=b,AX=b 有解,b可由1,2,n线性表出,(AX=0称为AX=b的导出组),1.AX=b 的导出组,2.AX=b 解的
6、判定,（1）若,AX=b 无解,（2）若,AX=b 有解，且,当，AX=b 唯一解；当，AX=b 无穷解.,2.解的性质：,性质1 设1,2 为AX=b 的解,则1-2为其导出组AX=0的解.,证,A(1-2)=A1-A2=b b=0,所以，1-2为AX=0的解.,性质2 设 为AX=b 的解,为AX=0的解，则+为AX=b 的解.,证,A(+)=A+A=b+0=b,所以，+为AX=b 的解.,AX=b 的特解：AX=b 的任一解.,性质3 设0 为AX=b 的一个特解,则AX=b 的任一解 可表为=0+,(为AX=0 的一个解),对于AX=b 的任一个特解0,当 取遍它的导出组的全部解时，=
7、0+就给出AX=b 的全部解.,性质3的证明,=0+(-0),为了求AX=b 的通解（全部解），只需求其一个特解0,以及导出组的全部解即可：,设0为AX=b 的一个特解，1,2,n-r为其导出组的基础解系，则AX=b 的通解为,X=0+k11+kn-rn-r,k1,kn-rR,3.AX=b 的通解,（2）写出同解方程组（基本未知量、自由未知量）,（4）求导出组的基础解系（对自由未知量取值）,（3）求特解（自由未知量取0）,（5）写出通解,4.AX=b解的求法（五步）,例6 解,解:,有无穷多解,（2）得同解方程组,(3)求非齐次的特解:,取x3=0,得 0=(3,2,0)T,(4)求导出组的基础解系:,取x3=1,得=(1,-2,1)T,（5）AX=b 的通解为：X=0+k,kR,例7 解,解,无解,例8 解,解,(1)=1时，,有无穷多解,得同解方程组 x1=1-x2 x3,导出组基础解系：1=(-1,1,0)T,2=(-1,0,1)T,非齐次特解：0=(1,0,0)T,原方程组通解：X=0+k1 1+k2 2,k1,k2 R,(2)=-2时，,无解,(3)1,-2时，,有惟一解：,1.,证,思考题【略】,已知四元齐次方程组 及另一,四元齐次方程组 的通解为,2.,解,3.,解,方法1,方法2（更简单）：,线性无关，所以为AX=0的基础解系.,为AX=b 的解.,
