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1、第二节,离散型随机变量及其分布规律,1、定义,称,为X的分布律(列)或概率分布。,分布列也可以用列表法表示,一、离散型随机变量分布律的定义,设离散型随机变量X可能取 且取这些值的概率依次为 p1,p2,pn,2.分布列的性质,（非负性）,（归一性）,给定了,我们就能很好的描述X.,即可以知道 X 取什么值，以及以多大的概率取这些值。,解:依据分布律的性质:,解得,这里用到了常见的幂级数展开式,例1.,例题2,设X 为离散型随机变量，其分布律为：,x,p,-1,0,1,1/2,1-2q,q2,解:,某射手连续向一目标射击，直到命中为止，,解:显然，X 可能取的值是1,2,，,P(X=1)=P(A
2、1)=p,为计算 P(X=k)，k=1,2,，,Ak=第k 次命中，k=1,2,，,设,于是,已知他每发命中的概率是p，,求射击次数X 的分布列.,例5.,可见,这就是所求射击次数 X 的分布列.,若随机变量X的分布律如上式，,不难验证:,几何分布.,则称X 服从,例3 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r 次才能被摧毁.若每次击中目标的概率为p(0 p 1),且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需轰击次数 X 的概率分布.,例3,帕斯卡分 布,几个重要的离散性随机变量模型,(0,1)分布二项分布波松分布,一、(0-1)分布（二点分布）,随机变量X 只取0与1两个值
3、,它的分布列是,或者表示为：,将一枚均匀硬币抛掷1次，,则X 的分布列是：,反面,正面,X=0,X=1,“正面”的次数,令X 表示1次中出现,例6,例3 100件相同的产品中有4件次品和96件正品，,现从中任取一件，,解,求取得正品数 X 的分布列。,伯努利试验,和,二项分布,则称 X 服从参数为n,p 的二项分布。,事件A 发生的概率均为P，,定义 设将试验独立重复进行n 次，,n 重贝努里试验.,若以X 表示n 重贝努里试验事件A 发生的次数，,记作,则称这n 次试验为,每次试验中，,用X 表示n 重贝努里试验中事件A（成功）出现,（2）,不难验证：,（1）,的次数，则,若,其分布列为：,
4、正好是二项式,的展开式,中的通项，,因此该分布为二项分布。,显然，n=1 时，,二项分布化为二点分布。,(0-1)分布记为,二项分布的分布列,已知100个产品中有5个次品，现从中有放回,解:因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的,依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.,设 X 为所取的3个中的次品数，,于是，所求概率为：,则,X B(3,0.05)，,例10,地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个,次品的概率.,条件完全相同且独立，它是贝努里试验.,注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各,次试验条件就不同了，,古典概型求解.,不是贝努里概型，,此时只能用,二项分布的
5、取值情况,设,由图表可见,当 时，,分布取得最大值,此时的 称为最可能成功次数,设,由图表可见,当 时，,分布取得最大值,直至达到最大值,随后单调减少.,(x 表示不超过 x 的最大整数),对于固定n 及 P，,当k 增加时,概率P(X=k)先是随之增加,当,不为整数时，,二项概率,达到最大值；,在,二项分布的图形特点:,简要说明,设随机变量X 所有可能取的值为 0,1,2,其中 0 是常数,且概率分布为：,泊松分布,记作,则称 X 服从参数为 的,泊松分布,设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊,解:由题意,求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。,松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为
6、3e-2.,例12,泊松分布的图形特点：,XB(n,p),当 n 很大，p 很小时，,下面图形显示：,泊松分布是二项分布的极限分布，,参数=n p 的泊松分布,二项分布就可近似看成是,在实际计算中,当 n 20,p 0.05时,可用上述公式近似计算;而当 n 100,np 10 时,精度更好,0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368,1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368,2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184,3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061,4 0.011 0.013 0.014 0.015
7、 0.015,Poisson定理说明若X B(n,p),则当n 较大，p 较小,而 适中,则可以用近似公式,例13,有产品15000件，其中次品 150件，,今抽取100,件，求有2件是次品的概率。,解法一 超几何分布,解法二 二项分布,为次品率,解法三 泊松分布,历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的.,近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一.,在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布.,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.,都可以看作服从泊松分布.,每天119收到的火灾报警次数；,一个售货员接待的顾客数;,一台纺纱机的断头数;,一放射性源放射出的 粒子数；,例如,例6 设一只昆虫所生虫卵数为随机变量 X,例6,设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立的.,已知X P()，且每个虫卵发育,成幼虫的概率为 p.,求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数 Y 的概率分布.,解,昆虫,X 个虫卵,Y 个幼虫,已知,由全概率公式,故,作业,P57 6 7P39 5,
