《2.2随机变量的数字特征.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.2随机变量的数字特征.ppt（21页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、22 随机变量的数字特征,一、离散型随机变量的数学期望,二、连续型随机变量的数学期望,三、随机变量函数的数学期望,四、数学期望的性质,五、随机变量的方差,六、随机变量的矩与切比雪夫不等式,一、离散型随机变量的数学期望,引例 观察一名射手20次射击的成绩如下,当试验次数加大时 频率fi的稳定值就是概率pi 相应地 平均,评价射手的射击水平的“平均中靶环数”为,一、离散型随机变量的数学期望,若离散型随机变量X的概率分布为 PXxipi i1 2 则当,定义26(数学期望),例29 设盒中有5个球 其中两个白球 3个黑球 从中随意抽取3个球 记X为抽取到的白球数 求EX,X的可能取值为0 1 2 而
2、且根据古典概型计算 有,解,于是,离散型随机变量的数学期望,提示,二、连续型随机变量的数学期望,设连续型随机变量X的密度函数f(x)只在有限区间a b上取不为零的值 把区间a b进行分割 ax0 x1 xn1b 将X近似地看成是取值为x0 x1 xn的离散型随机变量 此时,分析,当分点越来越密时 近似会越来越好 令各小区间长度趋于0 则有,二、连续型随机变量的数学期望,设连续型随机变量X的密度函数f(x)只在有限区间a b上取不为零的值 把区间a b进行分割 ax0 x1 xn1b 将X近似地看成是取值为x0 x1 xn的离散型随机变量 此时,分析,二、连续型随机变量的数学期望,定义 27(数
3、学期望),若X为连续型随机变量 f(x)为其密度函数 如果,解,连续型随机变量的数学期望,解,显然EX存在 且,连续型随机变量的数学期望,三、随机变量函数的数学期望,定理21,例 212 设X的概率分布如下表 求E(XEX)2,根据例29 EX12 于是根据定理21(1)有,解,036,根据例211 EX1 于是由定理21(2)有,解,四、数学期望的性质,性质1 对任意常数a 有Eaa 性质2 设a1 a2为任意实数 g1(x)g2(x)为任意实函数 如果Eg1(X)Eg2(X)均存在 则 Ea1g1(X)a2g2(X)a1Eg1(X)a2Eg2(X)(223),例214 设EX EX 2均存
4、在 证明 E(XEX)2EX 2(EX)2(225),EX2(EX)2,EX 22EXEX(EX)2,EX 22XEX(EX)2,E(XEX)2,因为(XEX)2X 22XEX(EX)2,证明,于是由(223)得,性质3 如果EX存在 则对任意实数a 有 E(Xa)EXa(224),说明,五、随机变量的方差,定义28(方差)设X为一个随机变量 其数学期望EX存在 如果E(XEX)2也存在 则称E(XEX)2为随机变量X的方差 记作D(X)或DX,XEX称为X的离差,一个随机变量的方差 粗略地讲 反映随机变量偏离数学期望的平均偏离程度,五、随机变量的方差,定义28(方差)设X为一个随机变量 其数
5、学期望EX存在 如果E(XEX)2也存在 则称E(XEX)2为随机变量X的方差 记作D(X)或DX,(1)设离散型随机变量X的概率分布为PXxipi i12,方差的计算,(2)设连续型随机变量X的密度函数为f(x)则,(3)计算方差的常用公式为,方差的性质,设X的方差DX存在 a为任意常数 则(1)Da0(229)(2)D(Xa)DX(230)(3)D(aX)a2DX(231),例 215 设X的概率分布如下表 已知EX12 求DX,DXEX 2(EX)2,解,18(12)2,036,解,因为EX1 且,从而,例217 X为一随机变量 方差存在 令 l(C)E(XC)2(232)证明 当且仅当
6、CEX时 l(C)达到最小值 此时最小值为DX,显然 当且仅当CEX时 最后一个不等式的等号成立 故l(C)在CEX时达到最小值 且最小值为DX,证明,l(C)E(XC)2E(XEX)(EXC)2,E(XEX)22(XEX)(EXC)(EXC)2,E(XEX)2(EXC)2,E(XEX)2DX,六、随机变量的矩与切比雪夫不等式,定义29(原点矩)X为一随机变量 k为正整数 如果EX k存在(即E|X|k)则称EX k为X的k阶原点矩 称E|X|k为X的k阶绝对矩,定义210(中心矩)X为一随机变量 k为正整数 如果EX k存在 则称E(XEX)k为X的k阶中心矩 称E|XEX|k为X的k阶绝对中心矩,定理22 随机变量X的t阶矩存在 则其s阶矩(0st)也存在,推论 设k为正整数 C为常数 如果EX k存在 则E(XC)k存在 特别地 E(XEX)k存在,定理23 设h(x)是x的一个非负函数 X是一个随机变量 且Eh(X)存在 则对任意 0 有,推论1(马尔可夫不等式)设X的k阶矩存在 即E|X|k 则对任意 0 有,推论2(切比雪夫不等式)设X的方差存在 则对任意 0 有,推论3 随机变量X的方差为0当且仅当存在一个常数a 使得 PXa1,
