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1、在前面的学习中,我们用字母A、B、C.表示事件，并视之为样本空间S的子集；针对等可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。本章，将引入随机变量表示随机事件，以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象。,第二章 随机变量及其分布,Random Variable and Distribution,第一节 随机变量第二节 离散型随机变量及其分布律第三节 连续型随机变量及其概率密度第四节 随机变量的分布函数第五节 随机变量的函数的分布小结,主要内容,第二章知识结构图,随机变量,分布律,分布 函数,函数的 分布,概率密度,离散型随 机变量,分布函数,函数的 分布,连续型随 机变量,定义,常用分布,
2、定义,常用分布,第一节 随机变量的概念,随机变量概念的引入引入随机变量的意义随机变量的分类,(1)、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.,例如，掷一颗骰子面上出现的点数；,9月份承德的最高温度；,每天进入公共教学楼的人数；,一、随机变量概念的引入,(2)、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.,例如:掷硬币试验,考察其正面和反面朝上的情况,可规定:用 1表示“正面朝上”用 0 示“反面朝上”,结论：不管试验结果是否与数值有关，我们都可以通过引入某个变量，使试验结果与数建立了对应关系,这种对应关系在数学上理解为定义了
3、一种实值单值函数.定义域为样本空间S，取值为实数.,e.,X(e),R,这即为所谓的随机变量,（1）它是一个变量,它的取值随试验结果而改变,（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，故随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.,定义 设随机试验的样本空间为S=e.X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数.称X=X(e)为随机变量.,简记为 r.v.,说明,(3)随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N 等表示,而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母 x,y,z,w,n等.,我们将研究两类随机变量：,二、随机变量的分类,这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似
4、之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.,第二节 离散型随机变量及其分布律,离散型随机变量定义离散型随机变量分布律几种常见分布,定义1：若随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个,则称X为离散型随机变量.,一、离散型随机变量定义,例如：1、设X表示抛三次硬币的试验中出现正 面朝上的次数.,X的可能取值为0，1，2，3.,2、设Y表示120急救电话台一昼夜收到的呼次数,则Y的可能取值为0,1,2,3,X和Y都是离散型随机变量,其中(k=1,2,)满足：,（2）,定义2：设 xk(k=1,2,)是离散型随机变量 X 所取的一切可能值，称,为离散型随机变量 X 的分布律.,用这两条性质判
5、断一个函数是否是分布律,二、离散型随机变量的分布律,离散型随机变量分布律也可以用列表法表示,离散型随机变量可完全由其分布律来刻划即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定,例题1：设随机变量X的分布列为,试确定常数a.,例2：某篮球运动员投中篮筐概率是0.9，求其两次独立投篮后，投中次数 X 的概率分布。,解：X 可取的值为：0,1,2，且,P(X=0)=0.1*0.1=0.01，,P(X=1)=0.9*0.1+0.1*0.9=0.18,P(X=2)=0.9*0.9=0.81.,X 的概率分布,练习 设袋中装有6个球，编号为1,1,2,2,2,3，从袋中任取一球，记取到的球
6、的编号为X，求：（1）X 的分布列；（2）编号大于1的概率,X 的分布列为:,练习 设袋中装有6个球，编号为1,1,2,2,2,3，从袋中任取一球，记取到的球的编号为X，求：（1）X 的分布列；（2）编号大于1的概率,一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机抽取3个，以X表示取出的3个球中最大的号码，求X的分布列,1、两点分布（也称（0-1）分布）,凡试验只有两个结果,常用0 1分布描述,如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.,0 p 1,记为 XB(1,P)。,定义：设随机变量 X 只可能取0与1两个值,它的分布律为,则称 X 服从(0-1)分布
7、或两点分布.,二、几个重要的离散型随机变量及其分布列,实例1“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,练习 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那么,若规定,则随机变量 X 服从(0-1)分布.,X 的分布列为:,2.二项分布,产生背景：n 重伯努利试验,二项分布定义：,记为,例：某射手每次射击时命中10环的概率为 p,现进行 4 次独立射击，求 恰有 k 次命中10环的概率。,解：用X 表示 4 次射击后,命中10环的次数,则,X 的概率分布为,例 某特效药的临床有效率为75%，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？,练习：已知有一大批这类的灯泡,次品率
8、是0.2。随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡中恰有3只是次品的概率。,解:设X为20只灯泡中次品的个数，则,X B(20,0.2)，,1、若将本例中的“有放回”改为”无放回”,那么各次试验条件就不同了,此试验就不是伯努利试验.此时,只能用古典概型求解.-超几何分布,请注意：,2、如果产品总数很大，且抽查的产品个数相对于产品总数来说很小，则可以当作有放回抽样处理。,定义：设随机变量 X 所有可能取的值为:0,1,2,概率分布为：,3.泊松分布,其中0 是常数，则称 X 服从参数为的泊松分布,记作 X P()。,易见,易于验证：,非负性,规范性,在某个时段内：,大卖场的顾客数；,某地区拨
9、错号的电话呼唤次数；,市级医院急诊病人数；,某地区发生的交通事故的次数.,一个容器中的细菌数；,一本书一页中的印刷错误数；,一匹布上的疵点个数；,放射性物质发出的 粒子数；,例6：某商店根据过去的销售记录,总结出某种商品每月的销售量可以用参数为 的泊松分布来描述,试求：,(1)下个月该商店销售2件此种商品的概率是多少？,销售2件产品的概率为,例6某商店根据过去的销售记录,总结出某种商品每月的销售量可以用参数为 的泊松分布来描述,试求：,(2)下个月该商店销售此种商品多于2件的概率是多少？,练习：某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数=3 的泊松分布。求：(1)一分钟内恰好收到3次寻呼的
10、概率；(2)一分钟内收到2至5次寻呼的概率。,解:,=(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 0.7169.,(1).PX=3=(33/3!)e-3 0.2240；,(2).P2X5,=PX=2+PX=3+PX=4+PX=5,历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松（Poisson)引入的.,近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一.,在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布.,二项分布的泊松近似,当试验次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦，如要计算,我们先来介绍二项分布的泊松近似，后面我们还将介绍二项分
11、布的正态近似.,或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法.,泊松定理：设0是一常数，n是任意正整数，设npn=，则对于任一固定的非负整数k，有,证明：由pn=/n有,对于任意固定的k，当n时,意义：定理的条件npn=（常数）意味着当n很大时，pn必定很小。因此，上述定理表明当n很大、p很小时有以下近似式,其中=np,n 100,np 10 时近似效果就很好,实际计算中，,其中,也就是，n很大时，B(n,p)P(np),例某人射击，每次命中率为0.02，求在独立进行400次射击中，至少击中2次的概率？解：设X表示射击400次击中的次数，由题意Xb(400，0.02)。,由泊松近似公式计算上题：,分
12、析结果：不能忽视小概率事件。,解：设1000 辆车通过,出事故的次数为 X,则,可用泊松定理计算,所求概率为,练习 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?,4.几何分布（了解）,从一批次品率为p(0p1）的产品中逐个随机抽取产品进行检验，验后放回再抽取下一件，直到抽到次品为止，设检验的次数为X,则X可能取值为1，2，3.,其概率分布为：,称这种概率分布为几何分布,例7 一个保险推销员在某地区随机地选择家庭进行访问，每次访问的结果是：如果该户购买了保险则定义为成功，没有购买保险则定义为失败从过去的经验看，随机选择的家庭会购买保险的概率为0.10，则该保险推销员第10次才取得成功的概率是多少？,对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律,也就知道了该随机变量取值的概率规律.在这个意义上，我们说,这一节，我们介绍了离散型随机变量及其分布律，并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重要离散型随机变量.,离散型随机变量由它的分布律唯一确定.,四、小结,离散型随机变量的分布,两点分布,二项分布,泊松分布,几何分布,二项分布,
