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1、2.3.1离散型随机变量的均值,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：,(1)pi0，i1，2，；(2)p1p21,一.复习提问,1、什么是离散型随机变量的分布列？它具有什么性质？,2、n次独立重复试验中某个事件恰好发生k次的概率？,复习引入,对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差
2、.,1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？,把环数看成随机变量的概率分布列：,权数,加权平均,二、探究,问题1:某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的3种糖果按 的比 3:2:1例混合销售,如何对混合糖果定价才合理?,分析:由于在1kg的混合糖果中,3种糖果的质量分别是,所以混合糖果的合理价格应该是,它是三种糖果价格的一种加权平均,这里的权数分别是,注意:权数就是从混合糖果中任取一颗糖果,取到每种糖果的概率,其前提是”质量相同”,把从混合糖果中取出一颗糖果看成是一次随机实验,可定义随机变量,分别把 18元/k
3、g,24元/kg,36元/kg 的糖果表示为a,b,c,则X是离散型随机变量,其分布列为,因此,权数恰好是随机变量X的分布列.这样,每千克混合糖果的合理价格可表示为,1.定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列为,则称 EX=x1 p1+x2p2+xn pn+为X的均值或数学期望.,它体现了离散型随机变量取值的平均水平。,问题2 若Y=aX+b，其中a,b为常数，X为随机变量(1).写出随机变量Y的分布列；(2).求Y的均值。,解:(1).由题意,知Y也为随机变量,则 P（Y=aX+b）=P（X=xi)=pi,i=1,2,3,所以，Y的分布列为：,(2).EY=(ax1+b)p1+(ax2+b
4、)p2+(axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+xnpn)+b(p1+p2+pn)=a E X+b,即E(a X+b)=a EX+b,2.离散型随机变量均值的性质:,随机变量的线性组合的均值等于随机变量均值线性组合.即若两个随机变量X和Y的均值都为有限数,则,其中a和b为任意实数,3.随机变量的均值与样本的平均值的联系与区别,随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量;对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本平均值越来越接近于总体均值,5.若XB（n，P），则EX=n P。,EX=0q+1p=p,4.如果随机变量X服从两点分布,那么,EX=p,三、基础训练,1、随机变量的分布列是,(1
5、)则E=.,2、随机变量的分布列是,2.4,(2)若=2+1，则E=.,5.8,E=7.5,则a=b=.,0.4,0.1,四、例题讲解,例1 篮球比赛中,罚球命中一次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球1次 的得分X的均值是多少?,解:,变式 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X的分布列；（2）求X的期望。,解：,(1)XB（3，0.7）,(2),例2.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题 有4 个选项,其中仅有一个选项正确.每题选对 得5分,不选或选错不得分,满分100
6、分.学生甲 选对任意一题的概率为0.9.学生乙则在测验中 对每题都从4个选项中随机 地 选择一个,求学生甲和学生乙在这单元测验中的成绩的均值。,解:设学生甲和学生乙在这单元测验中选对的题数 分别是X1和X2,则 X1B(20,0.9),X2B(20,0.25),EX1=20X0.9=18,EX2=20X0.25=5,由于每题选对得5分,所以学生甲和学生乙在这次测验中的 成绩分别是5X1和5X2,因此,他们在测验中的成绩的均值分别是,E(5X1)=5EX1=5X18=90,E(5X2)=5EX2=5X5=25,思考:,(1)学生甲在这次单元测验中的成绩一定是90分吗?,(2)他的均值为90分的含
7、义是什么?,不一定.他的成绩是一个随机变量,可能取值为 0,5,10,95,100,含义是:在多次类似的考试中,他的平均成绩大约是90分,例3.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60 000元,遇到小洪水时要损失 10 000元.为保护设备,有以下3种方案:方案1:运走设备,搬运费3 800元;方案2:建保护围墙,建设费为2 000元.但围墙只能防小洪水.方案3:不采取措施,希望不发生洪水.试比较哪一种方案好?,解:用X1,X2和X3分别表示三种方案的损失,采用第1种方案,无论有无洪水,都损失3 800元
8、,即X1=3 800,采用第2种方案,遇到大洪水时,损失2000+60000=62000元;没有大洪水时,损失2000元,即,采用第3种方案,有,于是,EX2=62000XP(X2=62000)+2000XP(X2=2000)=62000X0.01+2000X(1-0.01)=2600,EX1=3800,EX3=60000XP(X3=60000)+10000XP(X3=10000)+0XP(X3=0)=60000X0.01+10000X0.25=3100,显然,采取方案2的损失最小,所以可以选择方案2,四.课堂练习,教材P64-65 练习:1-5,1.不一定.,例如,掷一枚硬币,出现正面的次数
9、X是随机变量,它的取值为0,1,取每个值的概率都为0.5,故均值是0.5.而不是1,也不是0,2.E(X)=0 x0.1+1x0.2=2x0.3=3x0.2+4x0.1+5x0.1=2.3,3.,E(X)=-1x0.5+1x0.5=0,注意:要求离散型随机变量的均值,一般首先写出分布列,4.第一台机床生产零件的平均次品数 E(X1)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1,第二台机床生产零件的平均次品E(X2)=0X0.3+1X0.5+2X0.2=0.9,E(X2)E(X1),所以第二台机床生产出的次品少,小结,求随机变量均值的一般步骤：,1、写出X的分布列，在求X取每一个值时，要联系前一章古典概率的计算；,2、由分布列求EX；,3、如果随机变量是线性关系或服从二项分布，根据它们的均值公式计算。,1.离散型随机变量均值的定义和含义;,五.总结,6.计算:离散型随机变量的均值;两点分布的均值;二项分布的均值;,5.二项分布的均值:若XB（n，P），则EX=n P,4.两点分布的均值:若X服从两点分布,则EX=p,3.随机变量的均值与样本的平均值的联系与区别;,2.离散型 随机变量均值的性质:E(aX+b)=aE X+b,六.作业,教材 P69 习题 A 组 1,2,3,
