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1、第三章 多维随机变量及其分布,理工大学理学院数理系计算数学教研室田作威,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.,本章内容是第二章内容的推广,到现在为止，我们只讨论了一维r.v.及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对r.v.(两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r.v.(三个坐标）来确定的等等.,设随机试验E的样本空间是.X=X()和Y=Y()是定义在上的随机变量,由它们构成的向量(X,Y),称为二维随机向量，或二维随机变量.二维r.v
2、.(X,Y)的性质不仅与X及Y的性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究.为此,首先需要引入二维r.v.(X,Y)的分布函数的概念.,1 二维随机变量,设（X,Y）是二维r.v.，对于任意实数x,y，二元函数,称为二维r.v.(X,Y)的分布函数，或称为r.v.X和Y的联合分布函数.,一、定义,若把(X,Y)看成平面上随机点的坐标，则取定x,y R1，F(x,y)就是点(X,Y)落在平面上的以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无限矩形区域内的概率.,二、说明,由前面的几何解释知:随机点(X,Y)落在矩形域 x1xx2,y1yy2内的概率为,Px1Xx2,
3、y1Yy2=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1),三、性质,2.x,y R1 有 0F(x,y)1，且,1.F(x,y)是变量x和y的非减函数.即 yR1取定,当x1x2时,F(x1,y)F(x2,y).同样,xR1取定,当y1y2时,F(x,y1)F(x,y2).,yR1,F(-,y)=0，xR1,F(x,-)=0，F(-,-)=0，F(,)=1,3.F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续.,F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)0,4.对任意的(x1,y1)，(x2,y2)，x1x2,y1y2,为二维离散型r.v.(X,Y
4、)的分布律，或r.v.X和Y的联合分布律.,且有,四、二维离散型随机变量,如果二维r.v.(X,Y)的全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是二维离散型r.v.,设二维离散型r.v.（X,Y）所有可能取的值为(xi,yj),i,j=1,2,称,r.v.X和Y的联合分布律也可以用表格表示.,二维离散型r.v.(X,Y)的分布函数为,设有10件产品,其中7件正品,3件次品.现从中任取两次,每次取一件,取后不放回.令:X=1：若第一次取到的产品是次品.X=0：若第一次取到的产品是正品.Y=1：若第二次取到的产品是次品.Y=0：若第二次取到的产品是正品.求二维r.v.(X,Y)
5、的分布律.,例 1,利用古典概型,得:PX=0,Y=0=(76)/(109)=7/15 PX=0,Y=1=(73)/(109)=7/30 PX=1,Y=0=(37)/(109)=7/30 PX=1,Y=1=(32)/(109)=1/15,解:,(X,Y)所有可能取的值是(0,0),(0,1),(1,0,),(1,1).,于是二维r.v.(X,Y)的分布律为,五、二维连续型随机变量,设二维r.v.(X,Y)的分布函数为F(x,y)，若存在非负函数f(x,y),使得对任意实数x,y,有,则称(X,Y)为连续型二维随机变量，称f(x,y)为二维r.v.(X,Y)的概率密度,或称为r.v.X和Y的联合概率密度.,二维连续型r.v.（X,Y）概率密度的性质,在 f(x,y)的连续点,解:(1),例,设二维r.v.(X,Y)的概率密度为,(1)求常数k；(2)求分布函数F(x,y)；(3)求概率PYX.,(2),即,(3),这一讲我们介绍了二维随机变量的概念、二维随机变量的分布函数及其性质.二维随机变量也分为离散型和连续型.,
