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1、第19讲 三角形与全等三角形,一、三角形的定义及分类,定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。,分类：按边分：按角分：,二、三角形三边关系,abxa+b,1.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A1、2、3.5 B4、5、9 C20、15、8 D5、15、8,2.已知三角形的三边分别为3,7,a,则整数a 的值是。,3.已知ABC中AB=8，AC=6，则中线AD的取值范围是。,4.若平行四边形ABCD中AB=8,AC=6,则对角线BD长的取值范围是。,5.若梯形ABCD中ABCD，底边AB=8,CD=6,一腰AD=3，则另一腰 BC长的取值范围是。,6.（最值
2、问题线段和最小、差最大）,三、三角形三角关系,1.在ABC中,AD是BC边上的高，若DAC=20o,则ACB=。,CE是ACB的角平分线，交AD于点P，则CPD=_。,BEC=105o，则B=_。,3.如图：点D在BC上，点E在AD上比较 B与1的大小。并说明你的理由？,A,B,C,E,D,1,三角形的内角和为180,三角形的外角和为360,三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。,B=45,BAD=30,ECD=35,求1的度数。,三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。,2、在ABC中，A=2B=3C，判断三角形类型。,三、三角形三角关系,D,C,B,A,练习1：如图，点D在BAC内部
3、，请说明BDCBAC的理由。,若B=25，C=20，A=40，你能用几种方法计算出D的度数。,2.如图、A+B+C+D+E=。,3.有一次柯南看见这样一个图，要计算：A+B+C+D+E+F=度,1、角平分线,（1）定义:连结三角形的一个角的顶点和这个角的平分线与对边交点的线段；,（2）性质：三角形的三内角的平分线交于一点,这个点称为内心；它到三角形的三条边的距离相等,如图:三村庄A、B、C恰好位于三条公路交叉口上，现欲建一生活污水处理中心P,要求到三条公路的距离相等,请问P应建在何处？A三角形ABC三边的中垂线交点处B三角形ABC三个内角的角平分线交点处C三角形ABC三条高线交点处D三角形AB
4、C三条中线交点处,四、三角形中重要的线,1.如图,BE、CF是ABC的角平分线,A=80。则BOC=（）度,2.在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC，求B：C的值,2、三边中垂线,性质：三角形的三边中垂线交于一点,这个点称为外心；它到三角形的三个顶点的距离相等,如图:三村庄A、B、C恰好位于三条公路交叉口上，现欲建一生活污水处理中心P,要求到三个村庄的距离相等,请问P应建在何处？A三角形ABC三边的中垂线交点处B三角形ABC三个内角的角平分线交点处C三角形ABC三条高线交点处D三角形ABC三条中线交点处,四、三角形中重要的线,练习：如图,O是ABC三边中垂线交点，连BO、CO，A=80
5、。则BOC=（）度,A、110 B、120 C、140 D、160,3、中线,（1）定义：连结三角形的一个顶点和它对边中点线段；,（2）性质：三角形的中线平分三角形面积；三角形的三条中线交于一点，这个点称为重心；,在ABC中，AD是BC边上的中线，已知AC=3，ABD 与ACD的周长的差是2。,（1）你能求出AB的长吗？,（2）ABD与ACD面积有什么关系？,四、三角形中重要的线,例1：如图，ABC的面积为a,如图，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE若DEC的面积为S2，则S2=_(用含a的代数式表示),2a,在上图的基础上延长AB到点F，使BF=A
6、B，连结FD，FE，得到DEF（如图）若阴影部分的面积为S3，则S3=_(用含a的代数式表示),例1：如图，ABC的面积为a,6a,发现:像上面那样,将ABC各边均顺次延长一倍,连结所得端点,得到DEF,称第一次操作.将DEF各边均顺次延长一倍,连结所得端点,得到GHI,称第二次操作,.若ABC的面积为1,按此规律,要使得到的三角形的面积超过2010,最少经过_次操作。,4,例2：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。,已知：如图，AD是ABC 的中线，,E,求证：,常用辅助线：延长中线,4、高线,（1）定义：从三角形的顶点到它对边所在直线的垂线段；,（3）性质：三角形的三条高线交于
7、一点；这个点可以在三角形的内部(锐角三角形)可以在直角顶点，还可以在三角形的外部(钝角三角形)；,（2）作图：,四、三角形中重要的线,5.三角形的中位线,1、定义：连结三角形两边中点的线段,2、性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半,已知等腰三角形的腰长是6cm，底边长为8cm，那么以各边中点为顶点的三角形的周长是_。,三角形的中位线构成的三角形与原三角形之联系,四、三角形中重要的线,练习：连接四边形ABCD各边中点所成的小四边形的形状是：。,若四边形ABCD的面积为S，周长为L，则小四边形的面积与周长分别是：。,六、三角形的稳定性,如图所示，工人师傅砌门时，选用木条EF固定长方形
8、门框ABCE，使其不变形，这种做法的根据是（）A、矩形的四个角都是直角 B、矩形的对称性 C、两点之间线段最短 D、三角形的稳定性,D,（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。,（2）全等三角形的对应线段全部相等(包括面积）。,2、性质,3、判定,（1）全等三角形的定义(通过折叠、旋转、轴对称所得的三角形),（2）边边边公理（SSS）,（3）边角边公理（SAS）,（4）角边角公理（ASA）,（5）角角边定理（AAS）,（6）斜边直角边定理（HL）,七、三角形全等,1、定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形,4、关注：SSA不能直接判定两三角形全等,如图：BAF=CAE，AB=AC，CE
9、=BF，但两三角形显然不全等。,但可构造全等,D,如图：在四边形ABCD中，AC平分BAD，BC=CD=10，AB=21,AD=9，（1）B+D=180,（2）求AC长,全等三角形 常见的基本图形,背靠型,小山型,倒影型,平移型,旋转型,8字型,A字型,反8型,方法总结:,1、要说明两个三角形全等，只要结合题目的条件和结论，就可选择恰当的判定方法进行判定,2、经过翻折、旋转、平移等变换得到的三角形和原三角形全等。,1、如图，已知ABC和DCB中，AB=DC，请补充一个条件，使ABC DCB。,思路1：,找夹角,找第三边,已知两边：,ABC=DCB（SAS）,AC=DB（SSS）,ABC=DCB
10、,思路2：,找任一角,已知一边一角（边与角相对）,CAB=DAB 或者 CBA=DBA,七、三角形全等,开放题：添条件，证全等,2、如图，已知 B=E，要使 ABC AED，需要添加的一个条件是.,思路3：,已知两角：,找夹边,找一角的对边,AB=AE,AC=AD,或 DE=BC,(ASA),(AAS),AB=AE,思路4：,找夹这个角的另一边,找夹这条边的另一角,找边的对角,AO=BO,APO=BPO,PAO=PBO,（SAS）,（AAS）,七、三角形全等,证全等，得角相等,三角形全等的证题思路：,方法总结:,3.如图，点A、F、E、C在同一直线上，AFCE，BE=DF，BEDF，求证：AB
11、CD。,七、三角形全等,证全等得角相等,4.已知：如图，在ABC,中，D是BC边的中点，,DEBC交BAC,的平分线于E，,EFAB交AB于点F，,EGAC交AC的延长线于点G。,求证：BFCG。,七、三角形全等,证全等得边相等,5.如图，ACB=90，AC=BC，BECE，ADCE于D，AD=2cm,AB=cm。求：BE的长。,利用等腰+直角构造全等,七、三角形全等,利用中点构造全等,7.如图：等腰三角形ABC中AB=AC，E是AB边上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，连EF交BC于点D。求证：ED=FD,6.请设计一种方法，把图中直角梯形只剪一刀后拼成一个矩形。,8.已知，如图，在
12、ABC中，D是BC边的中点E是AD上一点，BEAC，BE的延长线交AC于点F，求证：AEF=EAF,七、三角形全等,9.测量如图河的宽度，某人在河的对岸找到一参照物树木，视线 与河岸垂直，然后该人沿河岸步行步（每步约0.75M）到O处，进行标记，再向前步行10步到D处，最后背对河岸向前步行20步，此时树木A，标记O，恰好在同一视线上，则河的宽度为 米。,15,A,B,O,D,C,构造全等解决实际问题,七、三角形全等,1、已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，BC=DC，CF平分BCD，DFAB，BF的延长线交DC于点E。求证：（1）BFCDFC；（2）AD=DE,图 3,提高练习,2、如图，
13、在正方形ABCD中，点E是CD边的中点，AC与BE相交点F，连结DF.（1）在不增加点和线段的前提下，直接写出图中所有全等三角形；,（2）连结AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；,（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系（直接写出结论）.,M,提高练习,3、正方形ABCD中，如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF=90，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF,变式1：如图2，其条件不变的情况下，点E是BC的延长线上除C外任意一点，结论还成立吗？,变式2：如图3，将原题中的正方形改为正ABC，90改为60，结论还成立吗？,图3,变式3：如图3，将原题中的正方形改为正n边形，请你作出猜想：当AEF=_时，结论仍然成立（直接写出答案）,提高练习,4.已知，如图，在ABC中，B=2A,AB=2BC,求证：,ACBC,提高练习,12、要画出AOB的平分线，分别在OA，OB上截取OC=OD，OE=OF，连结CF，DE，交于P点，那么AOB的平分线就是射线OP，要说明这个结论成立，可先说明EOD.理是，得到OED=，再说明PEC，理由是，得到PE=；最后说明EOP，理由是，从而说明了AOP=BOP，即OP平分AOB。,阅读理解,
