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1、,第一节 导数概念,第四章 一元函数微分学,1导数的定义 函数f(x)在点x0处可导的定义设函数y=f(x)在点x0的邻域内有定义，当自变量x点x0处取得改变量x(0)时，函数y取得相应的改变量,若当 时，两个改变量之比 的极限,存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数。,即,若上式中极限不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导。,导数的其它形式,在式中，如果把x换成x(或h)，则导数定义式可写为,在式中，如果令x=x-x0，则x=x+x0，且xx0时 x0，于是有,或,练习：P127题2（1）,例2,设函数 在点 处可导,求.（此例为P97
2、例4.7）,例1 设函数 在 处导数存在且,2 求导数举例,例1,(2)算比值,(3)求极限,练习：P127题1（1）题2（2）,例2 求函数 在点 的导数.（此例为P95例4.4）,例3 求函数 的导数.（此例为P96例4.5）,（此例为P95例4.3）,(2)左导数和右导数的定义,分别称为f(x)在点x0处的左导数与右导数。（3）函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件,练习：P128题2（5）,2可导与连续的关系,解,即,课本例4.8,如图 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,切线MT的斜率为,3导数的几何意义,切线方程为,法线方程
3、为,x=x0(即切线垂直于ox轴),注：法线为过切点且垂直于切线的直线,例1 求曲线 在x9处的切线方程,故曲线过（9，3）点的切线方程为,解：因为,又当x=9时，,所以切线的斜率,例2 在曲线y=x2上求一点M(x0，y0),使该点处的切线平行于直线y=4x-5,已知直线的斜率为k2=4，故应有,于是所求的点为M(2,4),则,练习：P127题1（3）,解：因两直线平行的条件是“斜率相等”而过M点的切线斜率为,注：两直线平行表示两直线的斜率相等，但又不重合,以下课件为补充练习，作为课后练习用,分析：这是两个分段函数，它们在分段点x=0处是否可导，首先，要根据函数在该点处可导、连续、有极限之间
4、的关系进行判定。若函数在该点无极限或不连续，显然不可导。若连续，则需要用可导的充分必要条件，即“在该点的左、右导数都存在并且相等”来判定。,解,例,在x=0处不可导,例,方程和法线方程.,并写出在该点处的切线,斜率,处的切线的,在点,求等边双曲线,),2,2,1,(,1,x,y,=,例 求曲线 的通过点（0，4）的切线方程,解 设切点为，则切线的斜率为,于是所求切线方程可设为可导,回顾：求导数,(2)算比值,(3)求极限,第二节 基本初等函数的导数与运算法则,解,1,即,一 基本初等函数的求导,解,更一般地,例如,即,2,解,指数函数,的导数.,即,3,对数函数 的导数,解,作代换 可得,4,
5、解,即,5 正弦函数 的导数,同理,例,定理2,定理1,二 和、差、积、商的求导法则,推论,例1,解,定理3,推论,注意:,例2,解,定理4,证,注意:,例3,解,同理可得,例4,解,同理可得,例5,分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.,解,P112例4.20,证,法则,三 反函数的导数（不作要求）,于是有,即是反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,例1,解,特别地,链式法则（Chain Rules)：,证明,四 复合函数的求导法则,注1：链式求导法则，即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.,注2,例4,解,例5,解,注：熟练以后，可以不写出中间变量，此
6、例可以这样写：,例6,练习：,解,1 常数和基本初等函数的导数公式,五 小结,2 函数的和、差、积、商的求导法则,解：,分析：这是两个函数乘积的求导问题，可直接利用乘积的求导法则计算，但考虑到函数的特点，若先把函数化简变形为代数和的形式再求导，将更为简便。,3 复合函数的求导法则,利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,复合函数导数的计算应遵循以下法则：,运用以上复合函数求导法则求导时，首先要搞清函数的复合过程，即它是由哪些简单函数复合而成的，找出所有中间变量。在求导过程中，依照法则依次对中间变量直至对自变量求导，最后把求导结果相乘并加以整理即得所求结果。,由复合函数求导法则，有,解：
7、这是一个经过三次复合的复合函数，其复合过程为,于是有,由以上例子可以看出，在复合函数求导过程中，如果每次都把中间变量依次列出比较麻烦，当运算较熟练时，只需把哪些是“中间变量”默记在心里，然后按照复合层次，由外向里逐层对“中间变量”求导数，直至对自变量求导为止，并随时把求导结果相乘。如例4，不写中间变量，直接按复合层次求导，有,分析：这是一个复合函数的求导问题，但若直接利用复合函数的求导法则比较麻烦，可先利用对数的运算性质把f(x)化简后再求导。,所以,此题是求一个复合函数的导数。解法1：,4隐函数导数的计算隐函数的特点是变量y与x的函数关系y=y(x)隐藏在方程F(x，y)=0中，其求导的方法
8、步骤为：,解：方程两端同时对x求导，有,解上方程，得,解：方程两边同时对x求导，得,把x=1代入原方程，得lny=0，即y=1，于是有,P110例4.17,练习P132题6（1）,第三节 导数在经济学中的应用,一、边际的概念,商家为了判断增减产量在经济上是否合算，就需知道增加产量时增加的成本。于是，引入：边际成本：在一定产量水平下，每增加一单位产品所需增加的成本,首先以边际成本为例来说明,表1、成本、平均成本和边际成本的关系（见课本P93）,例 填入下表中的空格数字,边际的概念：一般地，我们称经济中的某个函数 的导数为该函数在x处的边际,意义它反应经济变量y相对于另一种经济变量x的变化率,（其
9、他经济函数的边际表达式见P115表42）,例题：P115例4.21例4.22,二、弹性的概念,（1）设函数在点 处可导，函数 应变量的相对改变量 与自变量的相对改变量 之比的极限,称为函数在xx0处的弹性，记做 或,（2）对于一般的x，若函数可导，则,经济意义当x改变1时，f(x)改变,其值为正时表示增加，为负时，表示减少,课本例题：P117例4.23 例4.24,例1 若某种商品的需求函数为,试求该商品的需求弹性,解：因为,所以需求弹性为：,例2 某种产品的收入R（元）是产量q（吨）的函数,求:（1）生产200吨该产品时的收入；（2）生产200吨到300吨时收入的平均变化率；（3）生产200
10、吨时的边际收入,（2)求产量从200吨到300吨时的收入的平均变化率，只需先分别求出产量为200吨时的收入，产量为300吨时的收入，然后利用平均变化率公式,=,求之,（3）求产量为 吨时的边际收入，只需先求出边际收入函数,求出,分析：（1）要求收入只需把q200代入,例3 某种产品的销售量q与价格p之间的关系为,可知，求一种商品需求弹性时，首先求出它的边际需求,分析：由需求弹性公式,然后代入需求弹性公式，就可得到这种商品的需求弹性,1 某产品的销售量q与价格p间的关系式为,求需求弹性,如果销售价格为0.5，试确定,的值,2设某商品需求量q对价格p的弹性为Ep=-2pln2，求销售收入R=pq对
11、价格p的弹性,答案,练习,题2思路：根据q对p的弹性，可得q对p的导数,再由 可得,第四节 高阶导数,1.如果 的导数存在，称为 的二阶导数 记作：，或,2.仍是x的函数，还可以进一步考虑(三阶以上不作要求）有三阶导数 或，四阶导数 或，n阶导数 或.,3.f(x)在x处有n阶导数，那么 在x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称高阶导数,4.问题：如何求函数的高阶导数？一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则,高阶导数应用举例,解,例1 y=ax+b,求,例2 求,解,练习 P133题7（1）（2）,下面介绍几个初等函数的n阶导数,例3 求指数函数 的n阶导
12、数,解,例4 求正弦与余弦函数的n阶导数,解,一般地,可得,即,用类似方法,可得,例5 求幂级数的n阶导数公式,一般地,可得,即,高阶导数运算法则,(3)称为莱布尼兹公式,例6,解,代入莱布尼茨公式,得,(1)函数y=f(x)在点x0处的微分 设函数y=f(x)在点x0处可导，是自变量x的改变量，称为函数y=f(x)在点x0处的微分，记作,并称在点处可微。当y=f(x)时，由上定义可得，于是y=f(x)在x0处的微分可改写为,(2)函数y=f(x)在任一可导点x处的微分 设y=f(x)在任一点x处可导，那么它在x处的微分为：(3)导数与微分的关系由微分的定义可知，y=f(x)在x处可导与可微是
13、等价的，即若函数y=f(x)在x可导，则一定可微；反之亦然。,第五节 函数的微分,一、微分的概念,M,N,）,几何意义:(如图),二、微分的几何意义,三、基本初等函数的微分公式与运算法则,函数的微分的表达式,1.基本初等函数的微分公式,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,2.函数和、差、积、商的微分法则,3.复合函数的微分法则,与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下:,设 及 都可导,则复合函数 的微分为,上式说明无论是u自变量还是中间变量其微分形式不变,这一性质称为微分形式不变性.,例1,解,例2,解,例3,解 应用积的微分法则,得,例4 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,解(1)我们知道,可见,即,一般地,有,(C为任意常数),(2),即,(C为任意常数),解：这是求一个复合函数的微分问题，应该有,故应选C。,例5,解：方程两边同时对x求导，得,例7,例6,解：因,所以,
