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1、,第五章 相似矩阵,5.1 方阵的特征值与特征向量,一、问题的引入,矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用，,如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域,中方阵的对角化、微分方程组的求解、线性方程组的迭,代法求解等问题都会用到该理论。,一、问题的引入,设 x 代表某种群 C 的数量，,y 代表某种群 D 的数量，,初态为,一年后的状态为：,即,则第 k 年后的状态为：,(工业增长模型),(某国的工业增长水平),(该国的环境污染程度),一、问题的引入,1.初步设想,若存在一个可逆矩阵 P，使得,则,进一步有,且这两个向量,必须线性无关,且这两个向量,必须线性无关,2.简单分析,一、问
2、题的引入,寻找一个可逆矩阵 P，使得,即,记,对二阶方阵 A,寻找两个向量,它们被 A 左乘,后正好等于自,己的某个倍数,一、问题的引入,3.一般性问题的提出,比如，对于矩阵,则有,令,从而有,二、基本概念,如果存在数 l 和 n 维非零向量 X,则称数 l 为方阵 A 的特征值，,非零,使得 A X=l X，,向量 X 称为 A 的属于特征值 l 的特征向量。,比如，若 X 是矩阵 A 的属于特征值 l 0 的特征向量，,(2)属于同一个特征值的特征向量不是惟一的。,则 也是 A 的属于特征值 l 0 的特征向量。,1.特征值与特征向量,由 有,该方程组有非零解的充要条件是,分析,二、基本概
3、念,1.特征值与特征向量,2.特征多项式,记,定义,则称 为方阵 A 的特征多项式；,称 为方阵 A 的特征方程。,特征多项式 是 l 的 n 次多项式，,特征多项式“具体”形式,其中，称为 A 的迹，,即,记为,由于特征方程在复数范围内恒有解，且其解的,个数为特征方程的次数，,步骤,(1)求解特征方程 得到特征值。,值(重根按重数计算)。,(2)设 l=l i 是方阵 A 的一个特征值，,则 X 就是 A 的,求解齐次线性方,对应于特征值 l i 的特征向量。,三、特征值与特征向量的求解方法,因此 n 阶方阵有 n 个特征,故 A 的特征值为,(2)当 时，,求解得基础解系为,故 A 的属于
4、特征值的 所有特征向量为,由 有,(3)当 时，,求解得基础解系为,故 A 的属于特征值的 所有特征向量为,由 有,故 A 的特征值为,(2)当 时，,求解得基础解系为,故 A 的属于特征值的 所有特征向量为,由 有,(3)当 时，,求解得基础解系为,由 有,故 A 的对应于特征值 的所有特征向量为,故 A 的特征值为,求解得基础解系为,故 A 的对应于特征值 的所有特征向量为,由 有,由 有,求解得基础解系为,故 A 的对应于特征值 的所有特征向量为,则,即,又由,由 有,即得 或,因此,有,设 n 阶方阵 的特征值为,则有,性质1,四、特征值的性质,证明,由 有,又,两式比较即得性质成立。
5、,不能推出，,设 为 A 的特征值，则有,性质2,四、特征值的性质,(1)为 的特征值；,(3)若 A 可逆，则 为 的特征值。,(2)为 的特征值,证明,(1)由,(2)由,(3)由,为 A+B 的特征值，,为 A B 的特征值。,设 为 A 的特征值，则有,性质3,四、特征值的性质,(1)为 的特征值；,(2)为 的特征值，,证明,(2)(略)。,(1)由,其中，,故矩阵 B 的特征值分别为,则,(2),知 A 可逆且有,由,可得,从而有,(2)又由,知 A 有一个特征值为,故 有一个特征值为,即得 有一个特征值为,性质1,五、特征向量的性质,方阵 A 的一个特征值对应的特征向量的非零线性
6、组合,仍为该特征值对应的特征向量。,则有,即 是 A 的特征值 对应的特征向量。,一个特征子空间。,但由于不包含零向量，因此严格地讲，,特征子空间并不是向量空间。,五、特征向量的性质,性质2,属于不同特征值的特征向量是线性无关的。,证明,下面用数学归纳法证明。,对应的特征向量，,(1)对于,令,由于,故有,同理可得,即性质对 时成立。,由 得,则有,设 是方阵 A 的不同特征值,令,则有,又由于,故有,代入(d)可得,性质得证。,根据归纳法假设，有,由 得,假设 是 A 的特征向量，,则存在 使得,且,由 线性无关，有,即,与 矛盾，,故 不是 A 的特征向量。,五、特征向量的性质,性质3,方
7、阵 A 的 s 个不同的特征值各自所对应的 s 组线性无关,的特征向量并在一起仍然是线性无关的。,证明,设 A 的特征值及各自对应的线性无关的特征向量如下：,令,假设,则由性质 1 可知 是 对应的特征向量，,再由性质 2 与上式(a)可推出矛盾，,因此,又由 线性无关，有,故性质的结论成立。,记,而直接借助范德蒙行列式可证：,则,(a),则不需要利用性质 1 与性质 2，,对于 n 阶矩阵 A，如果 l 0 是 A 的特征方程的 k 重根，,则矩阵 A 对应于特征值 l 0 的线性无关的特征向量的,五、特征向量的性质,性质4,个数,向量，,除非对于 A 中的任意一个特征值，其线性无关,的特征向量的个数正好等于该特征值的重数。,得到特征值为,附：方阵在复数域内总存在特征值,但即使是实矩阵，,(2)矩阵 A 对应于特征值 的特征向量分别为,其特征值及特阵向量不一定是实的。,可见，方阵在复数域内总有特征值，,
