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1、第五章：正态随机过程,多维正态随机变量的定义与协方差矩阵多维正态随机变量的性质正态随机过程的定义正态随机过程的性质,定义：如果对一个随机过程任意选取n个时刻,则得到n个相应的随机变量,若此n个随机变量的联合分布都是n维正态分布，则称随机过程X(t)是正态随机过程（高斯过程）。,随机变量的特征函数 随机变量的概率密度函数和特征函数之间存在一一对应关系，因此在得知随机变量的特征函数后，就可以知道它的概率密度函数。,一、特征函数的定义 设 为随机变量，称 的数学期望为随机变量 的特征函数。记为,已知特征函数，求概率密度函数。,例题：解：,例题：,P8例题1.2,二、性质1）2）X的特征函数为，则Y=
2、aX+b的特征函数为：,证明：,例题：构造 其中,解：,3）矩定理,证明：,当n=1时,证明：,三、多维随机变量的特征函数1）定义,即：,若,2）性质1、若X1，X2 统计独立，则：推广到n个解：,若独立，则,2、边际特征函数 推广到n个解：,3、已知,证明：,比较：,一维正态随机变量的概念：一维正态随机变量X的概率密度函数可以表示为,记为特征函数为:,二维正态随机变量的概念：若随机变量X1,X2的联合概率密度函数可以表示为,则称X1,X2为二维正态随机变量。其中为X1和X2的相关系数。对于上述二维随机变量，其边际概率密度函数可表示为,因此其边际分布为一维正态分布，,二维正态分布的协方差矩阵可
3、表示为,二维正态分布的协方差矩阵具有如下性质：实对称矩阵；正定矩阵其逆矩阵可表示为,二维正态随机变量的联合密度也可表示为,其中,n维正态随机变量的定义：若n维随机变量的联合密度函数为,则称 为n维正态随机变量，其中C为n维实对称正定阵。记为,n维随机变量的性质,若，则存在n阶正交矩阵A，使得向量 中的分量Y1,Y2,Yn是独立的随机变量，且Yi为一维正态分布N(0,di)。,说明,2、的特征函数为,证明,总存在正交矩阵A，通过变换 此时随机向量的协方差矩阵，且,由性质1可以知道：为n维独立随机变量，,且,其中,则,由特征函数线性变换的性质，对于,可以得到:,3、n元正态分布中任意m维子向量亦为
4、正态分布(mn),证明,已知:,若令,则:,4、n元正态随机变量的线性变换也为正态随机变量。即若 为正态随机向量，则 亦为正态随机向量。,只需证明其特征函数亦为正态特征函数,即,已知,若,即,证明：,5、若 为n维正态随机变量，那么X1,X2,Xn相互独立的充要条件是两两互不相关。,证明,(1)若已知两两相互独立,则不相关.(2)若已经知道两两不相关,即Cij=0(当i不等于j时)，则,实际上，若：,方法二：,正态随机过程定义：若随机过程X(t)的任意n维分布都是n维正态分布，则称X(t)是正态随机过程（高斯过程）。,正态随机过程的性质：若正态随机过程为宽平稳，则必为严平稳。二阶矩过程,宽平稳
5、特点,X(t)的期望为常数，与时间原点无关,X(t)的相关函数只是时间差t的函数,若正态过程为宽平稳过程，则mX(t)=a为常数，RX(tk,ti)=RX(tk-ti).任取n个抽样时刻t1,t2,tn，这n个时刻所对应的随机变量的协方差矩阵为B，其任意一元素bki=RX(tk-ti)-a2=b(tk-ti),则该n个正态变量对应的特征函数为：,证明：,若把n个时间抽样点作一个时间平移h,即取抽样时刻为t1+h,t2+h,tn+h,则平移后的对应的n个正态分布的随机变量的特征函数为：,高斯过程通过线性系统，其输出亦为正态随机过程。若系统输入端的随机过程为非高斯过程，只要输入随机过程的等效带宽远
6、大于系统的通频带，系统输出端得到正态随机过程。平稳正态随机过程与确定信号之和的概率分布认为正态随机过程。,证明,例题1：设平稳正态过程X(t)均值为0，相关函数RX()=(e-2|)/4，求对给定时刻t，X(t1)的值在0.5和1之间的概率。解：,例题2：X(t)=Acosw0t+Bsinw0t，其中A与B为两个独立的正态随机变量，且EA=EB=0，EA2=EB2=2，w0为常数，求X(t)的一维，二维密度函数。解：,X（t）为正态随机过程，,所以：,或者,或者,所以,作业,X(t)Xcos2t+Ysin2t，式中X和Y是独立的随机变量，且均值为0，方差为2，求X(0),X(1/4),X(1/2)的协方差矩阵。正态随机变量X(t)有自相关函数(1)(2)且均值为0,试确定随机变量X(t),X(t+1),X(t+3)的协方差矩阵。,
