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1、2023年9月18日星期一,数学与经济及教育,重庆三峡学院 查 中 伟,2023年9月18日星期一,有两个问题是有区别的：数学与经济活动的关系问题，数学与经济学的关系问题。经济活动十分广泛，经济学研究也可被视为经济活动之一。任何经济活动都离不开数字，因而也离不开数学。经济活动越频繁，越发展，经济规模越大，经济水平越高，越需要数学。,一、数学与经济,2023年9月18日星期一,“没有数学语言的帮助，具有复杂组织的商业就会延缓发展，甚至停止发展。在管理科学中也同其他科学中一样，数学成为进步的条件。”(ABattersby)“有一件事就要发生。将有一个数学研究潮流，它从工业界流回研究生院，甚至流回大
2、学课程。数学的许多分支可能会从工业中开始。”(HOPollack)“越来越多的营业商行正在把精细的数学思想应用于管理、库存和生产问题。工程师们在系统分析领域进行集中的研究，这一领域主要也是关于给定操作仿真模型的。”(SKarlin)经济活动，无论是商业活动，还是工业活动，都需要数学；工业和商业这一类经济活动也促成数学研究。,一、数学与经济,2023年9月18日星期一,1971年，哈佛大学的多伊奇与另外两位同事在美国权威的杂志Science上发表了一项研究报告，列举了从1900年到1965年的62项重大社会科学成果，他们得出的结论是：大部分与数学有关。到1980年又增加了77项，得出的结论是：几
3、乎都与数学有关。有人甚至说：“很清楚，经济学要成为科学，就必须是一门数学科学。经济学必须是数学的，因为它处理那些可大可小，经历连续变化的数量。”(Anonymous),一、数学与经济,2023年9月18日星期一,然而，在前苏联，运用数学方法研究经济被视为“资产阶级”的庸俗做法，因而受到排斥。在前苏联发生的许多方面(不只是经济学、数学方面)排斥科学的现象，倒是很像封建阶级排斥和拒绝科学那样。在前苏联的影响下(更有我们自身的原因)，中国也曾发生过类似的情况，甚至更严重的情况-大学的经济学专业，近30年不开设数学课程。实际上，整个经济学作为科学已没有什么地位，更谈不上经济学与数学的联手。,一、数学与
4、经济,2023年9月18日星期一,1838年，数学家拉普拉斯和泊松的学生古诺(他研究概率论)发表了题为财富理论的数学原理研究的经济学著作，著作中充满着数学符号。例如，其中记市场需求为d，市场价格为，需求作为价格的函数记为。19世纪中叶之后，勒翁瓦尔拉斯和杰文斯提出名之为“边际效用理论”的经济学。后一代的经济学家们发现，这一理论中的“边际”原来就是数学中的“导数”或“偏导数”。瓦尔拉斯还于1874年前后提出了另一种颇有影响的“一般经济均衡理论”。但是他的数学论证是不可靠的，后来，严格证明一般均衡理论的数学工作一直到1954年由阿罗和德布罗完成。,一、数学与经济,2023年9月18日星期一,195
5、9年，德布罗发表了他的著作价值理论，经济均衡的一种公理化分析，这标志着运用数学公理化方法的数学经济学的诞生。他于1983年获诺贝尔经济学奖。埃奇沃思用抽象的数学来刻画边际效用理论，他最重要的经济学著作却叫数学心理学。马歇尔是在剑桥学数学的，他成为经济学的“剑桥学派”的宗师，今天的微观经济学著作中那些既直观易懂，又不失数学严谨性的曲线图像多半出自马歇尔之手。,一、数学与经济,2023年9月18日星期一,著名经济学家，马歇尔的学生凯恩斯是宏观经济学的创始人，是对西方经济政策影响最大的人，而凯恩斯是以数学家的身份开始其学术研究的，1921年，他有一本数学著作概率论，是那个时代最重要的概率论著作之一。
6、美国的边际效用学派是由克拉克奠定的。这个学派的第二代代表中的欧文费歇尔是耶鲁大学的一位数学教授，他在货币理论方面的研究被视为精神上的祖父。20世纪最伟大的数学家之一冯诺伊曼，他与经济学家摩尔根斯长期合作，进行了有关对策论及其在经济学中应用的研究，于1944年写成了最重要的数学经济学巨著：对策论与经济行为。,一、数学与经济,2023年9月18日星期一,奥地利边际效用学派最有影响的代表熊彼特对于经济学中使用数学方法，起了比谁都大的作用。计量经济学是从具体数据出发，用数理统计的方法，建立经济现象的数学模型；数理经济学则是从一些经济假设出发，用抽象数学方法，建立经济机理的数学模型。前者是用归纳法，后者
7、用的则是演绎法。,一、数学与经济,2023年9月18日星期一,在诺贝尔奖中，原来既没有数学奖，也没有经济学奖。数学奖一直没有增设，但是，1969年，由瑞典中央银行出钱，以诺贝尔的名义，设立了诺贝尔经济学奖。1969年一1989年的21届诺贝尔经济学奖获奖人共27位，其中有6届评了2人，其他每届1人。这27位之中，美国人占了一半以上(15位)，英国人5位，瑞典、挪威各两位，法国、荷兰、前苏联各一位。,一、数学与经济,2023年9月18日星期一,首届诺贝尔经济学获得者之一弗瑞希就是计量经济学的创始人之一，他不仅运用数学研究经济，而且他的研究成为经济学推动数学发展的出色例子。首届得奖者中的另一位丁伯
8、根是一个物理学博士，然而，数理不分家，现代物理学都离不开高水平的数学。丁伯根把物理和数学的方法带进了经济学，并与弗瑞希一道成为计量经济学的奠基人。,一、数学与经济,2023年9月18日星期一,第二届，1970年的获奖者萨缪尔森，他在1937年作为学位论文写出，在1947年才正式出版的成名作经济分析基础，是一部用严格的数学理论总结数理经济学的划时代著作。1972年诺贝尔经济学奖得主是两位：希克斯和阿罗。希克斯的著作价值与资本被萨缪尔森称赞为可与古诺、帕累托、马歇尔的著作媲美。阿罗则是数学博士(1951年获学位)，他创立了新的数理经济学分支：公共选择，社会选择。社会选择理论中的奠基性定理即“阿罗不
9、可能定理”，其实，这完全是一条数学定理(适用于经济学)。,一、数学与经济,2023年9月18日星期一,1973年的诺贝尔经济学奖为列昂节夫所获得，他的投入产出方法，现在几乎成了经济学常识，其实，投入产出方法不过是一种数学方法。1975年的得奖者是前苏联的康托洛维奇，这特别使人感到意外。康托洛维奇这位大数学家在纯数学研究领域如实变函数、泛函分析和在应用数学研究领域如线性规划、计算数学等多方面有过开创性贡献。但他对经济学的研究是业余的，甚至是地下的研究。直到斯大林去世之后，情况稍有好转，康托洛维奇于1942年写成的经济资源的最优利用一书到1959年才得以出版。,一、数学与经济,1976年的得奖者弗
10、里德曼、1978年的得主西蒙、1980年的克莱因、1981年的托平、1982年的斯蒂格勒、1983年的德布罗、1984年的斯通、1985年的莫迪利阿尼、1987年的索洛、1989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。1972一1976年在美国经济评论上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占501，而19771981年，这个数字上升到了540。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从212下降到了116。,一、数学与经济,冯诺伊曼在1928年创立对策论的时候已经注意到，对经济学来说，更重要的不是各自的最优，而是相互间的对策。冯诺伊曼为经济
11、学准备了一系列的新的数学工具，如凸集理论、不动点理论等，形成了在经济学中一系列与微分学很不相同的数学方法。数学上则常将其归入非线性分析范畴。20世纪60年代以后，德布罗把数学的公理化方法引进经济学，为数学在经济学领域开辟了广阔的活动范围。经济学也不断根据自身的需要向数学提出问题。生产者由生产集来刻画，消费者由消费集及其上的偏好关系或效用函数来刻画。这里，出现了集值函数，一对一的单值函数被发展成一对多的集值映射。这一概念虽早在数学中就出现过，却未在应用中被重视过。,一、数学与经济,为了刻画带有不确定性的经济，由于每一步骤都有多种可能出现，以一个出发点为根部，可演变出一个能反映出所有可能的树形图。
12、于是，图论的知识必不可少。在有无限种不确定情形时，例如，商品的种类就可看作有无穷多种，对应的商品空间也变成无穷维的了。于是，泛函分析成了当然的工具。为了刻画政策对经济的作用，做出一个最优控制的模型是自然的；为了刻画多层次的经济体中的信息流通，信息论的必要性很明显。,一、数学与经济,获得过菲尔兹奖(授予40岁以下的数学家的最高国际数学奖)的数学家斯梅尔，在德布罗的鼓动下投入经济学的研究，这使得经济学中的数学发展到一个崭新的阶段。这位以研究动力系统著称的拓扑学家首先致力于把阿罗和德布罗的研究“动力系统化”，回到微分方程的形式上来。接着又与德布罗一起把经济学“光滑化”，提出了“正则经济学”。在经济学
13、领域所使用的数学可与物理学相提并论了。,一、数学与经济,这种状况表明，真正理解经济学所需要的数学知识和数学水平，可能是一个大学本科数学专业的学生还难以达到的。更何况，理解今天如此复杂的经济活动本身更不是一件容易的事。,一、数学与经济,1、数学教育的意义“数学学科并不是一系列的技巧。这些技巧只不过是它微不足道的一方面,它们远不能代表数学。技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。数学在形成现代生活和思想中起重要作用，数学一直是形成现代文化的主要力量”。从根本上说，应当把数学教育视为文化素质教育，或者说，它本应当是一种文化素质教育或人文素质教育。数学课程虽不能直截了当地叫做人文课程，但
14、它是最接近人文课程的科学课程，最能起到人文教育作用的科学课程。,二、数学与教育,(1)数学思维的借鉴 尽管严密，精确，无矛盾性，这些都值得借鉴，但是，人文学科必须在此基础上朝前走得更远、更宽。然而，数学不只是提供精确和逻辑的。数学思维是一个无穷的宝库，数学可以提供各种思维的艺术而不是一个个模式。(2)数学哲理的启示 一个方面是，数学比其他任何自然科学学科更直接地讨论真理性问题，而哲学所关心的头号问题亦正在此。另一方面是方法论的，这有更普遍的意义。任何一个具体学科，当然也包括人文学科，只要思考本学科的问题的本质，只要思考方法的一般化问题，就会与哲学不期而遇。而数学的方法最容易引导人们去作这样的思
15、考。(3)数学精神的濡染 人类创造了伟大的物质文明。蔚为壮观!更为壮观的是人类创造了伟大的精神文明。这种人类精神中就包含了数学精神。,二、数学与教育,2、堪忧的现状 数学对人的发展可能的作用，需要通过教育来变为现实。但是，又并非任何一种数学教育都具有这种性质。历史是容易被谅解的，这多少是人们对“无力回天”的一种认可。但是，如果对堪忧的现状也没有危机感，那是难以被谅解的。一旦上了大学，也就出了“苦海”，从此告别数学。代表真善美的数学在他们年轻的心灵里却留了另一番景象，若干年以后，损失与落后-我们将无法回避。学数学，在一般人看来就像农民种粮食一样，最为人民所需，生产它却又最辛苦，而且“价格”也最不
16、合理。,二、数学与教育,3、问题的症结 数学教育是使数学作为文化、使数学促进人自身发展的基本建设。仅仅是把数学公式与定理让学生弄明白，这已经是件不太容易的事，如果还希望让学生喜欢它、欣赏它，从中获得真善美的感受与体验，那更是不容易的事了。面对自己的数学教育问题，面对21世纪，看来，基本的问题还是3个：教什么?如何教?何时教?,二、数学与教育,关键还在于“教什么”。问题的症结在于我们不该教的教了，而该教的没有教；有些问题上该少教的多教了，该多教的少教了。具体说来，我们太注重逻辑而忽视直觉了。对于青少年来说，更优先的问题是数学的思想、方法和精神，要在此基础上把丰富的内容与抽象的形式统一起来。,二、
17、数学与教育,教问题太少，而教现存答案太多；教探索太少，而教论证太多。当代数学家、数学教育家波利亚曾向数学教师们呼吁：“让我们教猜想吧!”教猜想，这是数学教学中发现法的一个具体体现。对于发现法，教育家研究过，数学教育家试验过。大数学家欧拉早就是发现法的倡导者和实验者。,二、数学与教育,4、历史的启示 阿基米德，他是最早建立度量理论的人，他也是最早发现欧几里得公理体系有缺陷并予以弥补的人，这一类工作就不是演绎性质的。牛顿创立微积分，不久就被发现有逻辑上的缺陷，他的算法是“不正确的”，可是结果却总是正确的，并且在微积分的完整理论建立之前差不多有效运转了两个世纪。,二、数学与教育,正是在17世纪微积分
18、创立到19世纪微积分理论完善这中间，欧拉是推动分析学发展的巨人，他的许多开创性工作并不是以逻辑严密化为特征的，他广泛使用归纳与类比，人们称他是归纳大师(这种归纳并非我们今日所知的数学归纳法)，他在推理中有效地运用了似真推理方法，正是这种推理在开拓性工作中不可缺少。高斯发现非欧几何更不是沿着单一的逻辑线路所能做到的。高斯确实与欧拉风格有异，高斯以严谨著称，然而，他与欧拉更有相同之处，都具有极强的数学直觉，而且，这是更重要的方面,二、数学与教育,5、心理学的开导 首先是从认知心理方面。心理学家皮亚杰以数学为背景将儿童的认识分为4个阶段：感觉动作阶段，前运算阶段，具体运算阶段，形式运算阶段。前苏联心
19、理学家加里培林也分析过思维发展过程，并划分为5个阶段：获得一般表象，运用具体事物完成运算，运用口头语言完成运算，运用内部语言即“心算”完成运算，上述各环节消失并且做到一看题就能很快进行计算。在回首自己的数学教学时已深感：过去太收敛了。,二、数学与教育,心理学所提示的另一方面是非认知心理的。人更有神奇的另一面：非认知心理活动的一面。而这一面是中国教育最为忽视的一面，数学教育尤其如此。我们数学教师可能比较喜欢问“什么是数感?”可是，有几位数学教师问过自己这样的问题呢?又有几位会有一个关于这一问题的多少能自我满意的回答呢?在许多情况下，当没有这种回答时又有多大妨碍呢?这里所说的“感”，既含有认知意义
20、下的感觉，更含有非认知意义下情感的意思，都属于心理学范畴。,二、数学与教育,“提高文化素质的原则，在数学教育中有不可等闲视之的重要地位”。“柏拉图曾在他的哲学学校门口张榜声明，不懂几何学的人不要进他的哲学学校”。“英国律师至今要在大学里学习许多数学知识”。“以培养将帅为目标的西点军校要设置许多高深的数学课程”。当后来成为哲学大师、著名律师或运筹帷幄的将帅时，实际上早把学生时代所学的那些具体的数学知识忘得一干二净了，但他们在当年所受到的数学训练，却一直在他们的事业和生存方式中起着重要作用，直至受用终身”。不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工
21、作中发挥着重要作用。,二、数学与教育,数学教育如何使其达到这些目标?优先的问题是，我们不能再仅仅把数学的学习视为掌握一种知识、一种技巧的过程，视为获得科学语言与表达方式的过程，而必须把它视为一个使青少年认知心理和非认知心理都得到健全发展的过程。从过程到目标，数学教育必须关注学生的情感和意志。愉快、喜悦、满足的情感无不基于美学的因素，丑陋使人厌恶，平淡使人乏味，自觉地进行数学美学教育绝不是一个只具有陪衬价值的工作。,二、数学与教育,实践论的观点是正确的，当我们注意在学生的数学学习(也是一种实践)过程中使他们同时学会喜爱、学会面对困难的时候，作为结果，不仅仅是数学可能学得更好了，情感上也受陶冶了，
22、意志品格也改善了。,二、数学与教育,6、不只是数学家的关心 我国著名数学家华罗庚，除了他在数学科学上的巨大成就外，他对数学教育的贡献也令后人敬佩不已他不仅是杰出的数学家，而且是杰出的数学教育家。另一位美国数学家波利亚，他堪称为数学教育的大师。他的思想既是数学的，又是教育的，非常高明的教育方法，非常先进的教育思想。,二、数学与教育,布鲁纳，这是一位有世界影响的教育心理学家。在他的著作中提到数学、物理学、生物学、语言学等学科，特别是数学。布鲁纳的结构主义教育思想是直接受到数学结构主义影响的。赞可夫的例子很典型。他的名著教学与发展的第四章教学大纲中提到数位问题、代数符号、运算律、容量计算、几何因素、
23、近似值、解方程、相反数、序列性等大量数学内容，并以其为依托展开其教学思想。皮亚杰的例子也许更能说明问题。他关于儿童思维发展的阶段学说事实上是以数学教育为背景的。不仅如此，他还写过儿童的几何概念，儿童概率观念的起源，儿童的空间概念，儿童的判断与推理，从儿童到青年逻辑思维的发展，儿童的物理因果概念，儿童的运动和速度概念等著述。,二、数学与教育,在现今这个技术发达的社会里，扫除数学盲的任务已经替代了昔日扫除文盲的任务而成为当今教育的重要目标。人们可以把数学对我们社会的贡献比喻为空气和食物对生命的作用。事实上，可以说，我们大家都生活在数学的时代我们的文化已经数学化。,二、数学与教育,“一门科学只有当它能够成功地运用数学时，才能达到完美的地步。”这是一个伟大的预言。马克思是在对数学有深入了解的基础上作出这一预言的。数学文化的辉煌是人类灿烂文明的一个极其重要的组成部分。历史证明了这一点，未来还会继续证明这一点!,二、数学与教育,谢 谢！,
