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1、第六章 统计物理基础,6.1 概率分布函数,6.2 粒子运动状态的经典描述,6.3 系统微观状态的经典描述和量子描述,6.4 等概率原理,6.5 近独立粒子系统的分布和微观状态数,6.6 系统微观状态能态密度,一、统计物理的基本观点,二、概率及概率分布,三、统计平均值和涨落,四、多个随机变量的联合概率分布函数,五、几种典型的概率分布,6.1 概率分布函数,返回,1、物质是由大量微观粒子组成，分子间有作用力,2、微观粒子作杂乱无章，永不停止的热运动,3、物体宏观量是相应微观量的统计平均值,4、单个微观粒子遵从力学规律性，大量粒子遵从统计规律性,一、统计物理的基本观点,返回,1、随机事件的概率,2
2、、概率的加法定理,3、概率的乘法定理,4、随机变量的概率分布,二、概率及概率分布,返回,1、随机事件的概率,（1）,返回,（2）,2、概率的加法定理,若A、B为互斥事件，则,返回,若A、B事件互为独立，则,3、概率的乘法定理,返回,以一定概率取各种可能值的变量叫随机变量.,4、随机变量的概率分布,分离型随机变量的概率分布,连续型随机变量的概率分布,返回,分离型随机变量的概率分布,返回,随机变量x取值在xxd的概率dW,则概率分布为:,连续型随机变量的概率分布,返回,1、统计平均值,2、涨落,三、统计平均值和涨落,返回,算术平均值的极限值即为统计平均值，即,对连续型：,1、统计平均值,返回,宏观
3、量的观察值与统计平均值有偏差的现象叫张落现象。,归平均值的偏差叫涨落。,方差,2、涨落,返回,变量 X取值在dx、变量Y取值在dy范围的概率。,(x,y)的联合分布,(x,y)的边缘分布,四、多个随机变量的联合概率分布函数,返回,1、二项分布,2、泊松分布,3、高斯分布,五、几种典型的概率分布,返回,1、二项分布,返回,2、泊松分布,返回,3、高斯分布,返回,一、近独立粒子体系,二、粒子运动状态的经典描述,三、微观粒子运动状态的量子描述,四、常见粒子的量子态,五、粒子能态密度g(),4.2 粒子运动状态的经典描述和量子描述,返回,若一个粒子构成的体系，各粒子之间相互作用可忽略，则这种粒子组成的
4、体系叫近独立粒子体系。,一、近独立粒子体系,返回,1、自由度,2、粒子运动状态的描述、空间、相轨道,3、相轨道的作法,二、粒子运动状态的经典描述,返回,确定一个粒子的位置所需要的独立坐标数，叫自由度，记为r，例如：平面上自由运动的粒子，r=2；直线上运动的粒子，r=1。,1、自由度,返回,2、粒子运动状态的描述、空间、相轨道,设粒子自由度为r，以r个广义坐标q1，qr为横轴，以r个广义动量p1，pr为纵轴所构成的2r维空间叫空间。,在空间中的一个点代表粒子的运动状态，这个点叫代表点。,粒子运动状态改变时，代表点移动所描述的轨道叫相轨道。,返回,步骤,确定粒子自由度r,3、相轨道的作法,确定广义
5、动量与广义坐标满足的函数关系,画出相轨道,例1,例2,返回,例1,从静止开始沿直线作匀加速运动，作出相轨道。,解:取运动方向为x轴正向,坐标和动量为,消去t 得到,（1）,由（1）作出的相轨道如图所示。,返回,例2,一维谐振子的相轨道,（2）,写为标准椭圆方程形式,（3）,给定时，椭圆的半轴分别为 和,返回,微观粒子的特性,微观粒子状态的量子描述,三、微观粒子运动状态的量子描述,返回,（1）波粒二象性，并遵从德布罗意关系式,1、微观粒子的特性,（2）遵从测不准关系,返回,微观粒子的状态要用波函数或者一组量子数来描述，用波函数或量子数描述的粒子状态叫量子态。,2、微观粒子状态的量子描述,返回,自
6、旋状态,三维自由粒子的量子态及量子态数,四、常见粒子的量子态,返回,对电子、质子、中子等粒子，用自旋磁量子数表示,1、自旋状态,返回,边长为L的立方体容器中的自由粒子，其状态由量子数nx，ny，nz描述，动量的三个分量px，py，pz为,2、三维自由粒子的量子态及量子态数,（1）,（2）,能量可能值为,当V 较大时，动量px，py，pz和能量实际上可视为连续变化。,由此求得,体积V内、动量在dpx，dpy，dpz范围内自由粒子的量子态数,（3）,（4）,利用能量,得到体积V内，粒子能量在d的量子态数,（5）,若不考虑方向，则动量大小在ppdp范围，自由粒子的量子态数,返回,1、定义,2、能态密
7、度的计算,五、粒子能态密度g(),返回,单位能量间隔的量子态数称为粒子能态密度，即,1、定义,（6）,返回,步骤,由g()=dZ/d求出g()的量子态数,求出粒子能量在d的量子态数dz,例1,2、能态密度的计算,返回,例1,求二维自由粒子的态密度g(),解：二维自由粒子的量子态由量子数nx，ny描述，动量分量px，py为：,粒子动量在dpxdpy范围的量子态数,面积L2内、动量大小在ppdp，方向在d范围内量子态数,将由0到2积分得到面积L2内，动量大小在ppdp（任意方向）的量子态数,利用,可得粒子能量在d范围内的状态数,(常数),于是L2内二维自由粒子态密度为,现将一、二、三维的g()比较
8、如下：,三维,二维,一维,返回,一、系统微观状态的经典描述 空间,二、系统微观状态的量子描述,4.3 系统微观状态的经典描述和量子描述,返回,1、数学描述,2、几何描述,一、系统微观状态的经典描述 空间,返回,1、数学描述,用q1，qf和p1，pf共2f个变量描述,返回,系统状态用空间的N个代表点描述，或用空间的1个代表点描述,2、几何描述,返回,1、全同粒子体系特点,2、全粒子体系分类,3、系统微观状态的量子描述,例,二、系统微观状态的量子描述,返回,不可识别性，遵从全同性原理,费米系统遵从泡利不相容原理,1、全同粒子体系特点,返回,玻色粒子系统：不可识别，1个量子态可有多个粒子,2、全同粒
9、子体系分类,费米粒子系统：不可识别，1个量子态至多有1个粒子,玻尔兹曼粒子系统：可识别，1个量子态可有多个粒子,返回,对可分辨的粒子系统，微观状态应确定每一个粒子的单个量子态,3、系统微观状态的量子描述,对不可分辨的粒子系统，微观状态应确定每一个量子态上的粒子数目,返回,例,设2个粒子，单个粒子量子态有1、2、3个，画出系统微观状态,解：,玻尔兹曼粒子昨天有如下9种微观态,玻色系统有如下6种微观态,费米系统有如下3种微观态,返回,一、等概率原理的文字叙述和适用范围,二、等概率原理的重要性,4.4 等概率原理,返回,等概率原理,一、等概率原理的文字叙述和适用范围,对于处于平衡状态的孤立系统，系统
10、各 个可能的微观状态出现的概率相等。,适用范围,平衡态、孤立系统、大量粒子构成。,返回,等概率原理是统计物理的基本原理，是大量实验事实的总结概括而提出的基本假设。其正确性由实验检验，它不能用其它定理推导。以后各章节的内容以它为基础。,二、等概率原理的重要性,返回,二、三种系统的微观状态数,一、分布和微观状态,三、非简并条件,4.5 近独立粒子系统的分布和微观状态数,返回,设N个全同近独立粒子构成的系统、体积V、能量E、能级l、简并度l、能级粒子数为al。,能级 1，2，l，简并度 1，2，l，粒子数 a1，a2，al，,一、分布和微观状态,粒子分布如下,例,粒子数排成的数列a1，a2，al，叫
11、一个分布，记为al,每个个体量子态上的粒子数或者单个个体量子态构成的体系的整体状态叫系统的微观状态。,应注意：1个分布可以有许多个微观状态。,返回,二、三种系统的微观状态数,玻尔兹曼系统的微观状态数,玻色系统的微观状态数,费米系统的微观状态数,返回,1、玻尔兹曼系统的微观状态数,（1）,例如玻尔兹曼系统，给定分布a1=2，a2=1，a3=0且非简并：1=2=3=1,返回,（2）,2、玻色系统的微观状态数,返回,3、费米系统的微观状态数,（3）,返回,三、非简并条件,条件（4）称为非简并性条件。物理意义是：当所有能级的粒子数都远于量子态数，不可识别的粒子就变成可识别的粒子，粒子间的关联可以忽略。
12、,若,有,（4）,返回,一、统计系综和系综代表点密度,二、系统微观状态能态密度,三、几种常见体系的能态密度,4.6 系统微观状态能态密度,返回,1、统计系综的定义,2、系综代表点密度 D,3、概率分布函数,一、统计系综和系综代表点密度,返回,引入系综概念后使得,1、统计系综的定义,相应微观量对一切微观状态的平均,系综平均,为了解决如何进行统计平均而引入统计系综概念。,定义：,系综是大量的，彼此独立、力学性质相同但可处于不同微观运动状态假想系统的集合叫统计系综。,物理量的时间平均,返回,定义：空间单位相体积元内系统微观状态代表点的个数叫系综代表点密度，记为D，是时间t、动量p、广义坐标q的函数，
13、有,2、系综代表点密度D,（t是总微观状态数）,返回,定义：系统微观状态出现在空间单位相体积元的概率，有,3、概率分布函数,（归一化条件）,力学量平均值,确定具体系统的（q，p，t）是统计物理的基本问题,返回,1、定义,二、系统微观状态能态密度,2、的计算公式,3、N维球球体积计算公式,返回,系统能量在E附近单位能量间隔内的微观状态数，记为,1、定义,返回,2、的计算公式,积分范围：,对量子体系，直接数量子态数,对经典体系，采用空间计算,返回,3、N维球球体积计算公式,返回,1、N和单原子分子构成的理想气体,2、N个光子构成的光子体系,三、几种常见体系的能态密度,返回,1、N个单原子分子构成的理想气体,有：,由,返回,2、N个光子构成的光子体系,作业：1、P109 4.22、P110 4.73、P110 4.8,有,由,返回,
