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1、8.2正态总体均值和方差的假设检验,F 检验 用 F分布,一般说来，按照检验所用的统计量的分布,分为,U 检验 用正态分布,t 检验 用 t 分布,这一节我们讨论正态总体的参数的假设检验问题,假设检验步骤(四部曲),1.根据实际问题所关心的内容,建立H0与H1,2.在H0为真时,选择合适的统计量V,给定显著性水平,确定拒绝域,3.确定拒绝域形式,4.根据样本值计算,并作出相应的判断.,一、正态总体均值的检验,1、2已知的情形U检验,构造统计量,根据给定的检验水平，查表确定分位数,在H0成立的条件下,例1 某切割机在正常工作时,切割每段金属棒的平均长度为10.5cm,标准差是0.15cm,今从一
2、批产品中随机的抽取15段进行测量,其结果如下:,假定切割的长度X服从正态分布,且标准差没有变化,试问该机工作是否正常?,解,因为,要假设检验,查表得,故接受H0，认为该机工作正常,2、2未知的情形 t检验,由 P|t|t/2(n 1)=,得检验水平为的拒绝域为,|t|t/2(n 1),例2 某种片剂药物中成分A的含量规定为10，现抽验该药物一批成品中的五个片剂，测得其中成分A的含量分别为0.1090，0.0945，0.1038，0.0961，0.0992，假设该药物中成分A的含量X服从正态分布，问在5的显著性水平下，抽验结果是否与片剂中成分A的含量为10要求相符？,解,依题意，该批药物中成分A
3、的含量X服从正态分布N(，2)，其中，2均为未知。问题化为在0.05的显著性水平下的检验假设,H0:=0.10,H1:0.10,n5，计算可得样本均值和样本方差,检验统计量为,计算得t0.1970,查表得t/2(4)=t0.025(4)=2.7764,由于|t|0.1970 t/2(4)=2.7764,故没有理由拒绝H0，即认为该批药物片剂中成分A的含量与规定含量10没有显著差异。,3、两个正态总体均值差的检验 t 检验,我们可以用t检验法检验具有相同方差2（未知）的两个总体均值差的假设。给定显著性水平，设 是来自正态总体 的样本，是来自正态总体 的样本，且设两样本独立，分别记它们的样本均值为
4、，样本方差为。其中 均为未知。现在来求检验问题：,的拒绝域,对于给定的检验水平,构造统计量，,特别地，当0时，假设检验H0：1=2，H1：1 2是经常遇到的情况。,当H0为真时,当方差1222已知时，用U检验法，构造统计量,取显著性水平,得拒绝域为,例3 从人群中任选8名成年男子和7名成年女子做膝关节反射强度试验，测得反射强度分别为（单位:弧度）：,男子：31 19 22 26 36 30 33 29,女子：30 14 19 29 31 26 19,假定男子的膝关节反射强度P和 女子膝关节反射强度R都服从正态分布，且方差相同，试问可否认为男子较女子膝关节反射强度多4弧度（0.05）,解,依题意
5、，要假设检验,计算可得,进而,查表得 t0.025（13）2.1604,由于|t|0.079 2.1604,所以接受H0，即认为成年男子的膝关节反射强度比成年女子的反射强度大4弧度。,4、基于成对数据的检验 t检验,在许多场合需要比较两种产品，两种状态，两种方法等的差异，我们常需要在相同条件下作对比试验，得到一批成对的观察值。然后由此作出统计推断。注意此时不能按3中的方法处理，因为两种状态下得到的样本常常是不独立的。为进一步说明，设两种状态下得到的样本为,个体i的两个数值xi与yi是相关的（如比较人的身高与坐高，二者是高度相关的），这样就不能保证 与 这两组样本的独立性。但由抽样本身可知,是独
6、立的.假定两指标的差服从正态分布。令di=xi-yi,i=1,2,n,认为d1,d2,dn是来自正态总体N(d2),d 和2 均为未知，问题化为要检验假设 的问题,这个问题已在2中讨论过，其拒绝域为,例4 有两台光谱仪Ix,Iy,用来测量材料中某种金属的含量,为鉴定它们的测量结果有无显著差异,制备了9件试块(它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同),现在分别用这两台机器对每一试块测量一次,得到9对观察值如下:,问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异?,解,依题意，dXY服从正态分布N(d2),d1,d2,dn是它的一个样本，需检验假设,选取检验统计量为,认为这两台仪器的测量结果无显著的差异
7、.,二、正态总体方差的检验,1、单个总体的情况2检验,设总体 未知，是来自总体X的样本，现要检验假设（显著性水平为）,由上分位点的定义可知,得显著性水平为的拒绝域为,例3 由以往管理生产过程的大量资料表明某自动机床产品的某个尺寸X服从正态分布，其标准差为010.00毫米，并且把010.00毫米定为机床精度的标准。为控制机床工作的稳定性，定期对其产品的标准差进行检验：每次随机地抽验9件产品，测量结果为x1,x2,x9。试制定一种规则，以便能根据样本标准差s的值判断机床的精度（即标准差）有无变化（显著性水平为0.05）？,解,依题意，所考虑的产品指标X服从正态分布。要根据s的值检验假设,当H0为真
8、时，2服从自由度为8的2分布,对于0.05，,查表得,则拒绝域为,求检验统计量为,即,每当测得s的值小于5.220或大于14.805时，就认为机床的精度发生了变化。应引起注意，并分析原因。,2、两个总体方差齐性（相等）的假设检验F检验,设总体X服从正态分布N(112),总体Y服从正态分布N(2，22),其中1，2未知。是来自总体X的样本，是来自总体Y的样本，并且两样本相互独立。,检验假设,构造统计量，,当H0为真时,当H0为真时,由上分位点的定义可知,得显著性水平为的拒绝域为,两个正态总体方差齐性（相等）的假设检验问题，可一般化为两个正态总体方差比值为一常数的假设检验问题：,这时在H0为真时取
9、检验统计量,对给定显著性水平，类似地可得的拒绝域为,例4 有两批同类型电子元件，从两批电子元件中各抽取若干作电阻测试，测得结果如下（单位：）,第一批 0.140，0.138，0.143，0.141，0.144，0.137，0.139,第二批 0.135，0.140，0.142，0.136，0.138，0.141,假定电子元件的电阻服从正态分布，取显著性水平0.05，问,（1）两批电子元件的电阻的方差有无显著差异？,（2）两批电子元件的平均电阻是否相等？,解,计算可知,（1）需检验假设,因而,对给定的0.05，查表得,对给定的0.05，查表得,于是,由于,故接受H0，即认为两批电子元件的电阻的方
10、差无显著差异。,（2）由（1）的结论有,假设检验,计算可知,对给定的0.05，查表得,由于,所以接受H0，即认为两批电子元件的平均电阻没有显著差异。,习题课,各种情况的正态总体参数的检验总结于下,原假设 H0,备择假设 H1,检验统计量及其H0为真时的分布,拒绝域,0,0,条件,0,0,各种情况的正态总体参数的检验总结于下,原假设 H0,备择假设 H1,检验统计量及其H0为真时的分布,拒绝域,解：,可取统计量，,在 成立时，,由 已知，的拒绝域为,利用样本观察值，得，,1.对，有，,拒绝，接受.,2.对，有，,接受，拒绝.,注：对不同的检验的显著性水平，同一 个问题可能会得到不同的检验结果。因
11、此，假设检验必须先给定显著性水 平.,例2 已知某炼铁厂的铁水含碳量 服从正态分布，均值.某日随机测得7炉铁水，算得平均含碳量，,样本标准差.以显著性水平 检验这天铁水含碳量的均值是否显著变化？,由题意，应取统计量,设 H0:=4.40；H1:,对 查表得，,而,接受，铁水含碳量有显著变化。,解 根据题意检验假设可设为,自动车床加工某种零件，其直径（单位：）服从正态分布，要求.某天开工后，随机抽取30件,算得样本方差为，检验这天加工的零件是否符合要求?(取显著性水平）,解 根拒据题目要求，本题检验假设为,H0:2=0.09；H1:.,则取统计量为,例3,拒绝域为,由样本值算得,所以，接受.即认为零件直径的方差符合要求。,例4 某灯泡厂在采用一项新工艺的前后，分别抽取10个灯泡进行寿命试验。计算得到：采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为2460(h)，样本标准差为56(h);采用新工艺后灯泡寿命的样本均值为2550(h)，样本标准差为48(h)。设灯泡的寿命服从正态分布，由此检验采用新工艺前后灯泡寿命的方差有无显著变化？（取显著性水平）,解 设采用新工艺前、后的灯泡寿命分别 用,表示.,检验假设为,取统计量,2,2,y,x,S,S,F,=,在 成立时，,对显著性水平，查表得,的拒绝域为，,或,由样本值得,于是，,所以,接受,拒绝,即可以认为采用新工艺前、后灯泡寿命的方差不变。,
