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1、第二章 矩阵代数,2.1 定义2.2 矩阵的运算2.3 行列式2.4 矩阵的逆2.5 矩阵的秩2.6 特征值、特征向量和矩阵的迹2.7 正定矩阵和非负定矩阵,2.1 定义,pq矩阵：,p维列向量：,q维行向量：a=(a1,a2,aq),向量a的长度：,单位向量：,若A的所有元素全为零，则称A为零矩阵，记作A=0pq或A=0。若p=q，则称A为p阶方阵，a11,a22,app称为它的对角线元素，其他元素aij(ij)称为非对角线元素。若方阵A的对角线下方的元素全为零，则称A为上三角矩阵。显然，aij=0,ij。若方阵A的对角线上方的元素全为零，则称A为下三角矩阵。显然，aij=0,ij。若方阵A
2、的所有非对角线元素均为零，则称A为对角矩阵，简记为A=diag(a11,a22,app)。若p阶对角矩阵A的所有p个对角线元素均为1，则称A为p阶单位矩阵，记作A=Ip或A=I。,若将矩阵A的行与列互换，则得到的矩阵称为A的转置，记作A，即若方阵A满足A=A，则称A为对称矩阵。显然，aij=aji。,2.2 矩阵的运算,若A=(aij)：pq，B=(bij)：pq,则A与B的和定义为A+B=(aij+bij)：pq若c为一常数，则它与A的积定义为cA=(caij)：pq若A=(aij)：pq，B=(bij)：qr,则A与B的积定义为,运算规律,(1)(A+B)=A+B。(2)(AB)=BA。(
3、3)A(B1+B2)=AB1+AB2。(4)。(5)c(A+B)=cA+cB。,若两个p维向量a和b满足ab=a1b1+a2b2+apbp=0则称a和b正交。几何上，正交向量之间相互垂直。若方阵A满足AA=I，则称A为正交矩阵。显然，i=1,2,p，即A的p个行向量为单位向量；，即A的p个行向量相互正交。又从AA=I得：(jk)，即A的p个列向量也是一组正交单位向量。,正交矩阵A的几何意义,将p维向量x看作是在Rp中的一个点，则x的各分量是该点在相应各坐标轴上的坐标。正交阵A的行列式非1即1。若|A|=1，则正交变换y=Ax意味着对原p维坐标系作一刚性旋转(或称正交旋转)，y的各分量正是该点在
4、新坐标系下的坐标；若|A|=1，则包含了一个反射的坐标轴。当p=2时，按逆时针方向将直角坐标系x1Ox2旋转一个角度，所得新坐标系y1Oy2与原坐标系之间的变换为当p=3时同样有着直观的几何展示。由于yy=(Ax)(Ax)=xAAx=xx故在新、旧坐标系下，该点到原点的距离保持不变。,矩阵的分块,设A=(aij)：pq,将它分成四块，表示成其中A11：kl，A12：k(ql)，A21：(pk)l，A22：(pk)(ql)。若A和B有相同的分块，则,若C为qr矩阵，分成其中C11：lm，C12：l(rm)，C21：(ql)m，C22：(ql)(rm)，则有,例2.2.2 用矩阵分块方法证明正交矩
5、阵A：pp的p个列向量和p个行向量都是一组正交单位向量。证明 将矩阵A分别按列向量和行向量分块，并记由AA=I，得,于是故有即a1,a2,ap为一组正交单位向量。同理，由AA=I可证a(1),a(2),a(p)也是一组正交单位向量。,2.3 行列式,p阶方阵A=(aij)的行列式定义为这里 表示对1,2,p的所有排列求和，(j1j2jp)是排列j1,j2,jp中逆序的总数，称它为这个排列的逆序数，一个逆序是指在一个排列中一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数。例如，(3142)=1+(1342)=3+(1234)=3。,行列式的一些基本性质,(1)若A的某行(或列)为零，则|A
6、|=0。(2)|A|=|A|。(3)若将A的某一行(或列)乘以常数c，则所得矩阵的行列式为c|A|。(4)若A是一个p阶方阵，c为一常数，则|cA|=cp|A|。(5)若互换A的任意两行(或列)，则行列式符号改变。(6)若A的某两行(或列)相同，则行列式为零。(7)若将A的某一行(或列)的倍数加到另一行(或列)，则所得行列式不变。,(8)若A的某一行(或列)是其他一些行(或列)的线性组合，则行列式为零。(9)若A为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵，则(10)若A和B均为p阶方阵，则|AB|=|A|B|。(11)|AA|0。(12)若A与B都是方阵，则,代数余子式,设A为p阶方阵，将其元素aij
7、所在的第i行与第j列划去之后所得(p1)阶矩阵的行列式，称为元素aij的余子式，记为Mij。Aij=(1)i+jMij称为元素aij的代数余子式。有以下公式成立,2.4 矩阵的逆,若方阵A满足|A|0，则称A为非退化方阵；若|A|=0,则称A为退化方阵。设A=(aij)是一非退化方阵，若方阵C满足AC=I，则称C为A的逆矩阵，记为C=A1，A1必是一个非退化矩阵。令B=(Aij)/|A|其中Aij是aij的代数余子式，则容易验证AB=BA=I。由于C=BAC=B，因此A1是惟一的，且(A1)1=A。,逆矩阵的基本性质,(1)AA1=A1A=I。(2)(A)1=(A1)。(3)若A和C均为p阶非
8、退化方阵，则(AC)1=C1A1(4)|A1|=|A|1。(5)若A是正交矩阵，则A1=A。(6)若A=diag(a11,a22,app)非退化(即aii0，i=1,2,p)，则(7)若A和B为非退化方阵，则,2.5 矩阵的秩,一组同维向量a1,a2,an，若存在不全为零的常数c1,c2,cn，使得c1a1+c2a2+cnan=0则称该组向量线性相关。若向量a1,a2,an不线性相关，就称为线性无关。矩阵A的线性无关行向量的最大数目称为行秩，其线性无关列向量的最大数目称为列秩。矩阵的行秩和列秩必相等，故统一将其称为A的秩，记作rank(A)。,矩阵秩的基本性质,(1)rank(A)=0，当且仅
9、当A=0。(2)若A为pq矩阵,且A0，则1rank(A)minp,q(若rank(A)=p,则称A为行满秩的；若rank(A)=q,则称A为列满秩的)。(3)rank(A)=rank(A)。(4)。(5)rank(AB)minrank(A),rank(B)。(6)若A和C为非退化方阵，则rank(ABC)=rank(B)(7)p阶方阵A是非退化的，当且仅当rank(A)=p(称作A满秩)。(8)rank(AA)=rank(AA)=rank(A)。,2.6 特征值、特征向量和矩阵的迹,一、特征值和特征向量二、矩阵的迹,一、特征值和特征向量,设A是p阶方阵，若对于一个数，存在一个p维非零向量x，
10、使得Ax=x，则称为A的一个特征值或特征根，而称x为A的属于特征值的一个特征向量。依该定义有，(AI)x=0，而x0，故必有|AI|=0|AI|是的p次多项式，称为特征多项式。上式有p个根(可能有重根)，记作1,2,p，它们可能为实数，也可能为复数(虽然A是实数矩阵)。反过来，若i是上式的一个根，则AiI为退化矩阵，故存在一个p维非零向量xi，使得(AiI)xi=0即i是A的一个特征值，而xi是相应的特征向量。今后，一般取xi为单位向量，即满足xixi=1。,特征值和特征向量的基本性质,(1)A和A有相同的特征值。(2)若A和B分别是pq和qp矩阵，则AB和BA有相同的非零特征值。(3)若A为
11、实对称矩阵，则A的特征值全为实数，p个特征值按大小依次表示为12p。若ij，则相应的特征向量xi和xj必正交，即xixj=0。(4)若A=diag(a11,a22,app)，则a11,a22,app为A的p个特征值，相应的特征向量分别为e1=(1,0,0)，e2=(0,1,0,0)，ep=(0,0,1)。(5)，即A的行列式等于其特征值的乘积。可见，A为非退化矩阵，当且仅当A的特征值均不为零；A为退化矩阵，当且仅当A至少有一个特征值为零。,例2.6.4 设方阵A：pp的p个特征值为1,2,p，试证：若A可逆，相应于1,2,p的特征向量分别为x1,x2,xp，则A1的p个特征值为，相应的特征向量
12、仍为x1,x2,xp；若A为正交矩阵，则A的特征值为1或1。(6)若A为p阶对称矩阵，则存在正交矩阵T及对角矩阵=diag(1,2,p)，使得A=TT上式两边右乘T，得AT=T将T按列向量分块，并记作T=(t1,t2,tp)，于是有(At1,At2,Atp)=(1t1,2t2,ptp),故Ati=iti，i=1,2,p这表明1,2,p是A的p个特征值，而t1,t2,tp为相应的(一组正交单位)特征向量。称之为A的谱分解。(7)若A为pq实数矩阵，则存在p阶正交矩阵U和q阶正交矩阵V，使得A=UV其中的(i,i)元素i0，i=1,2,min(p,q)，其他元素均为零。正数i称为A的奇异值，上述分
13、解式称为奇异值分解。,设rank(A)=k，则矩阵中只有k个正数，记为1,2,k。将正交矩阵U和V按列分块有，U=(u1,u2,up)，V=(v1,v2,vq)，令U1=(u1,u2,uk)，V1=(v1,v2,vk)，1=diag(1,2,k),则得到奇异值分解的另一表达式：这里u1,u2,uk是一组p维正交单位向量，v1,v2,vk是一组q维正交单位向量，即有U1U1=V1V1=I。由A=UV知，AA=U2U，AA=V2V，于是AAui=i2ui，i=1,2,pAAvi=i2vi，i=1,2,q即 是AA 的p个特征值，u1,u2,up 是相应的特征向量；是AA 的q个特征值，v1,v2,
14、vq 是相应的特征向量。,二、矩阵的迹,设A为p阶方阵，则它的对角线元素之和称为A的迹，记作tr(A)，即tr(A)=a11+a22+app方阵的迹具有下述基本性质：(1)tr(AB)=tr(BA)。特别地，tr(ab)=ba。(2)tr(A)=tr(A)。(3)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)。(4)。(5)设1,2,p为方阵A的特征值，则tr(A)=1+2+p,2.7 正定矩阵和非负定矩阵,设A是p阶对称矩阵，x是一p维向量，则xAx称为A的二次型。若对一切x0，有xAx0，则称A为正定矩阵，记作A0；若对一切x，有xAx0，则称A为非负定矩阵，记作A0。,正定矩阵和非负定矩阵的基本性质,(1)设A是对称矩阵，则A是正定(或非负定)矩阵，当且仅当A的所有特征值均为正(或非负)。(2)设A0，则A的秩等于A的正特征值个数。(3)若A0，则A10。(4)设A0，则A0，当且仅当|A|0。(5)若A0(或0)，则|A|0(或0)。(6)BB0，对一切矩阵B成立。(7)若A0(或0)，则存在 0(或0)，使得 称为A的平方根矩阵。,
