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1、第二章 解线性方程组的直接法,数值分析,2.1 消元过程与矩阵的三角分解,1.3 基本的三角分解法(Doolittle法),上式可记为,同样,由,综合以上分析,有,因此可以推导出,U的第一行,L的第一列,-(1),-(2),U的第r行,L的第r列,-(3),-(4),称上述(1)(4)式所表示的分解过程为Doolittle分解,对于线性方程组,系数矩阵非奇异,经过Doolittle分解后,线性方程组可化为下面两个三角形方程组,上述解线性方程组的方法称为直接三角分解法的 Doolittle法,例1.用Doolittle法解方程组,解:,由Doolittle分解,Doolittle法在计算机上实现
2、是比较容易的,第二章 解线性方程组的直接法,2.2 Gauss列主元消去法,数值分析,2.2 Gauss列主元消去法,例1.,用Gauss消去法解线性方程组(用3位十进制浮点数计算）,解:,本方程组的精度较高的解为,用Gauss消去法求解(用3位十进制浮点数计算),一、Gauss列主元消去法的引入,9999,回代后得到,与精确解相比,该结果相当糟糕,究其原因,在求行乘数时用了很小的数0.0001作除数,主元,如果在求解时将1,2行交换,即,0.9999,回代后得到,这是一个相当不错的结果,例2.,解线性方程组(用8位十进制尾数的浮点数计算),解:,这个方程组和例1一样,若用Gauss消去法计算
3、会有小数作除数的现象,若采用换行的技巧,则可避免,经过回代后可得,事实上,方程组的准确解为,例2所用的方法是在Gauss消去法的基础上,利用换行避免小主元作除数,该方法称为Gauss列主元消去法,第二章 解线性方程组的直接法,2.4 平方根法,数值分析,2.4 平方根法,一、对称正定矩阵的三角分解(Cholesky分解),记为,-(1),因此,Diagonal:对角,为非奇异下三角阵,为非奇异上三角阵,-(2),-(3),因此,所以,综合以上分析,则有,-(4),-(5),定理1.(Cholesky分解),且该分解式唯一,这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解,-(6),-(7),
4、-(8),二、对称正定线性方程组的解法,线性方程组,-(10),-(11),则线性方程组(10)可化为两个三角形方程组,-(12),-(13),-(14),-(15),对称正定方程组的平方根法,例1.,用平方根法解对称正定方程组,解:,即,所以原方程组的解为,本例中出现了大量的根式运算,原因为,考虑改变分解方式,请求解例1.,三、平方根法的数值稳定性,用平方根法求解对称正定方程组时不需选取主元,由,可知,因此,平方根法是数值稳定的,第二章 解线性方程组的直接法,2.5 追赶法,数值分析,2.5 追赶法,对角占优矩阵:,有一类方程组,在今后要学习的插值问题和边值问题中有着重要的作用,即三对角线方程组,其形式为:,其中,-(1),以下以Doolittle分解导出三对角线性方程组的解法,设,二对角阵,得,得,例1.,用追赶法解三对角线性方程组,解:,因此原线性方程组的解为,
