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1、1,主讲教师:王升瑞,高等数学,第二十七讲,2,习题课,级数的收敛、求和与展开,三、幂级数和函数的求法,四、函数的幂级数和付式级数展开法,一、数项级数的审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,第十一章,3,常数项级数,函数项级数,一般项级数,正项级数,幂级数,三角级数,收敛半径R,泰勒展开式,数或函数,函 数,数,任意项级数,傅氏展开式,傅氏级数,泰勒级数,满足狄 氏条件,一、主要内容,4,1、常数项级数,级数的部分和,定义,级数的收敛与发散,5,性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,性质4:收敛级数加括
2、弧后所成的级数仍然收敛于,级数收敛的必要条件:,收敛级数的基本性质,敛散性不变.,原来的和.,6,常数项级数审敛法,正 项 级 数,任意项级数,1.,4.充要条件,5.比较法,6.比值法,7.根值法,4.绝对收敛,5.交错级数(莱布尼茨定理),3.按基本性质;,一般项级数,4.绝对收敛,7,定义,2、正项级数及其审敛法,审敛法,(1)比较审敛法,8,(2)比较审敛法的极限形式,设,与,都是正项级数，如果,则(1)当,时，二级数有相同的敛散性,(2)当,时，若,收敛则,收敛。,(3)当,时，若,发散则,发散。,9,10,11,定义 正、负项相间的级数称为交错级数.,3、交错级数及其审敛法,12,
3、定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,4、任意项级数及其审敛法,13,5、函数项级数,(1)定义,(2)收敛点与收敛域,14,(3)和函数,15,(1)定义,6、幂级数,16,(2)收敛性,17,推论,18,定义:正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,19,a.代数运算性质:,加减法,(其中,(3)幂级数的运算,20,乘法,(其中,除法,21,b.和函数的分析运算性质:,22,7、幂级数展开式,(1)定义,23,(2)充要条件,(3)唯一性,24,(3)展开方法,a.直接法(泰勒级数法),步骤:,b.间接法,方法,求展开式.,根据惟一性,利用常见展开式,
4、通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等,25,(4)常见函数展开式,26,27,(1)三角函数系,三角函数系,8、傅里叶级数,28,其中,称为傅里叶级数.,(2)傅里叶级数,定义,三角级数,29,(3)狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理),30,(4)正弦级数与余弦级数,31,32,奇延拓:,(5)周期的延拓,偶延拓:,33,34,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,为傅立叶级数.,为傅氏系数)时,时为数项级数;,时为幂级数;,35,一、数项级数的审敛法,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.正项级数审敛法,必要条
5、件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,36,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:若,且,则交错级数,收敛,概念:,且余项,37,例1.若级数,均收敛,且,证明级数,收敛.,证:,则由题设,收敛,收敛,收敛,收敛.,38,利用比值判别法,可知原级数发散.,用比值法,可判断级数,因 n 充分大时,再由比较法可知原级数收敛.,发散,收敛,P322 题2.判别下列级数的敛散性:,39,用比值判别法可知:,时收敛;,时,与 p 级数比较可知,时收敛;,时发散.,时发散.,P322 题2.判别下列级数的敛散性,4
6、0,P322 题3.设正项级数,和,也收敛.,提示:因,存在 N 0,又因,利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.,都收敛,证明级数,当n N 时,41,P322 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,提示:,P 1 时,绝对收敛;,0 p 1 时,条件收敛;,p0 时,发散.,因各项取绝对值后所得强级数,故原级数绝对收敛.,提示:,42,又因,单调递减,且,所以原级数仅条件收敛.,由Leibniz判别法知级数收敛;,解,P322 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,即原级数非绝对收敛,43,因,所以原级数绝对收敛.,P322 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性
7、:,44,解:原式=,的和.,P323 题9(2).求级数,45,例2.,设,在,的某个邻域内有连续二阶导,数，且,证 绝对收敛。,证：,利用麦克劳林公式：,（下证收敛，略）,46,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数:先求收敛半径 R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性.,P323 题7.求下列级数的敛散区间:,练习:,47,解:,当,时,原式=,时原级数收敛.,令,原级数发散.,48,解:,当,因此级数在端点发散,时,原式=,故收敛区间为,同理级数发散.,49,解法1:,故收敛区间为,中一般项,不趋于0,令,原级数收敛,P323 题7.求
8、下列级数的敛散区间:,50,解法2:因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,51,例1.,解法2 利用根值判别法,其收敛半径,52,例2、设,解：,由阿贝尔定理，,试求在,在,处的收敛，,处的敛散性。,在如上范围内绝对收敛，,故,时，原级数绝对收敛。,53,解:,收敛半径为,例3.求,发散。,原级数的收敛域为,的收敛域.,收敛。,54,求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和,映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法:分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数 求和,去分子常积分,55
9、,解,例1,收敛域为,56,例2,解,57,求,的和函数。,解:,例3,58,求,的和函数。,解:,逐项求导得,再逐项求导,得,分部积分,得,例3,59,例4.求幂级数,先求出收敛区间,则,设和函数为,解,60,的和函数。,解:,例5 求,61,例6 P323 题8.,解:,显然 x=0 时上式也正确,故和函数为,而在,x0,求下列幂级数的和函数：,级数发散,62,例6 P323 题8.,解:,x0,求下列幂级数的和函数：,可见收敛半径,63,显然 x=0 时,和为 0;,根据和函数的连续性,有,x=1 时,级数也收敛.,即得,64,其收敛域为(-1，1)，和函数为,，则,的和.,例7 求级数
10、,65,四、函数的幂级数和付式级数展开法,直接展开法,间接展开法,练习:,1.将函数,展开成 x 的幂级数.,利用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式,解:,1.函数的幂级数展开法,66,2.函数的付式级数展开法,系数公式及计算技巧;,收敛定理;,延拓方法,上的表达式为,将其展为傅氏级数.,P323 题11.设 f(x)是周期为2的函数,它在,解答提示,67,68,思考:如何利用本题结果求级数,根据付式级数收敛定理,当 x=0 时,有,提示:,69,例2、设,是周期为,的周期函数，,在,上的表达式为,(1)求傅里叶系数,解:,70,(2)求,时的值,解：由图与函数的周期性可知：,71,3、设周期函数 的周期为2，证明 的,傅立叶系数为,证明,是2为周期的周期函数,也是2为周期的周期函数,同理可证,P316,72,P322 6(2);7(3);9(1);10(2);12,作业,
