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1、2023/10/31,同济版高等数学课件,第三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,幂级数,第十二章,2023/10/31,同济版高等数学课件,一、函数项级数的概念,设,为定义在区间 I 上的函数项级数.,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;,若常数项级数,为定义在区间 I 上的函数,称,收敛,发散,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域.,2023/10/31,同济版高等数学课件,为级数的和函数,并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前 n 项的和,即,在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数,称它,2023/10/31
2、,同济版高等数学课件,例如,等比级数,它的收敛域是,它的发散域是,或写作,又如,级数,级数发散;,所以级数的收敛域仅为,有和函数,2023/10/31,同济版高等数学课件,二、幂级数及其收敛性,形如,的函数项级数称为幂级数,其中数列,下面着重讨论,例如,幂级数,为幂级数的系数.,即是此种情形.,的情形,即,称,2023/10/31,同济版高等数学课件,收敛,发散,定理 1.(Abel定理),若幂级数,则对满足不等式,的一切 x 幂级数都绝对收敛.,反之,若当,的一切 x,该幂级数也发散.,时该幂级数发散,则对满足不等式,证:设,收敛,则必有,于是存在,常数 M 0,使,阿贝尔,2023/10/
3、31,同济版高等数学课件,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛.,也收敛,反之,若当,时该幂级数发散,下面用反证法证之.,假设有一点,满足不等式,所以若当,满足,且使级数收敛,面的证明可知,级数在点,故假设不真.,的 x,原幂级数也发散.,时幂级数发散,则对一切,则由前,也应收敛,与所设矛盾,证毕,2023/10/31,同济版高等数学课件,幂级数在(,+)收敛;,由Abel 定理可以看出,中心的区间.,用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为,则,R=0 时,幂级数仅在 x=0 收敛;,R=+时,幂级数在(R,R)收敛;,(R,R)加上收敛的端点称为收敛域.,R 称为收敛半径，,在R
4、,R,可能收敛也可能发散.,外发散;,在,(R,R)称为收敛区间.,收敛,发散,2023/10/31,同济版高等数学课件,定理2.若,的系数满足,证:,1)若 0,则根据比值审敛法可知:,当,原级数收敛;,当,原级数发散.,即,时,1)当 0 时,2)当 0 时,3)当+时,即,时,则,2023/10/31,同济版高等数学课件,2)若,则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若,则对除 x=0 以外的一切 x 原级数发,对任意 x 原级数,因此,散,因此,的收敛半径为,说明:据此定理,因此级数的收敛半径,2023/10/31,同济版高等数学课件,对端点 x=1,的收敛半径及收敛域.,解:,对端点
5、x=1,收敛;,级数为,发散.,故收敛域为,例1.求幂级数,级数为交错级数,2023/10/31,同济版高等数学课件,例2.求下列幂级数的收敛域:,解:(1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在 x=0 处收敛.,规定:0!=1,2023/10/31,同济版高等数学课件,例3.,的收敛半径.,解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接由,2023/10/31,同济版高等数学课件,例4.,的收敛域.,解:令,级数变为,当 t=2 时,级数为,此级数发散;,当 t=2 时,级数为,此级数条件收敛;,因此级数的收敛域为,故原级数的收
6、敛域为,即,2023/10/31,同济版高等数学课件,三、幂级数的运算,定理3.设幂级数,及,的收敛半径分别为,令,则有:,其中,以上结论可用部分和的极限证明.,2023/10/31,同济版高等数学课件,说明:,两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比,原来两个幂级数的收敛半径小得多.,例如,设,它们的收敛半径均为,但是,其收敛半径只是,2023/10/31,同济版高等数学课件,定理4 若幂级数,的收敛半径,(证明见第六节),则其和函,在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同:,注:逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.,2023/10/31,同济版高等数
7、学课件,解:由例2可知级数的收敛半径 R+.,例5.,则,故有,故得,的和函数.,因此得,设,2023/10/31,同济版高等数学课件,例6.,的和函数,解:易求出幂级数的收敛半径为 1,x1 时级数发,散,2023/10/31,同济版高等数学课件,例7.求级数,的和函数,解:易求出幂级数的收敛半径为 1,及,收敛,x=1 时级数发散,2023/10/31,同济版高等数学课件,因此由和函数的连续性得:,而 x=0 时级数收敛于1,及,2023/10/31,同济版高等数学课件,例8.,解:设,则,2023/10/31,同济版高等数学课件,而,故,2023/10/31,同济版高等数学课件,内容小结
8、,1.求幂级数收敛域的方法,1)对标准型幂级数,先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.,2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式),求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质,两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与,也可通过换元化为标准型再求.,乘法运算.,例3,例4,2023/10/31,同济版高等数学课件,2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;,3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.,思考与练习,1.已知,处条件收敛,问该级数收敛,半径是多少?,答:,根据Abel 定理可知,级数在,收敛,时发散.,故收敛半径为,例6,3.求和函数的常用方法,利用幂级数的性质,例7,2023/10/
9、31,同济版高等数学课件,2.在幂级数,中,n 为奇数,n 为偶数,能否确定它的收敛半径不存在?,答:不能.,因为,当,时级数收敛,时级数发散,说明:可以证明,比值判别法成立,根值判别法成立,2023/10/31,同济版高等数学课件,P275 1(1),(3),(5),(7),(8)2(1),(3)P320 7(1),(4)8(1),(3),作业,第四节,阿贝尔(1802 1829),挪威数学家,近代数学发展的先驱者.,他在22岁时就解决了用根式解5 次方程,的不可能性问题,他还研究了更广的一,并称之为阿贝尔群.,在级数研究中,他得,到了一些判敛准则及幂级数求和定理.,论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开,拓了道路.,数学家们工作150年.,类代数方程,他是椭圆函数,C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供,后人发现这是一类交换群,2023/10/31,同济版高等数学课件,备用题 求极限,其中,解:令,作幂级数,设其和为,易知其收敛半径为 1,则,
