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1、,一元微积分学,大 学 数 学（1）,第三讲 数列的极限,授课教师：易学军,欢迎观看,第 二 章 极 限,本章学习要求：了解数列极限、函数极限概念，知道运用“”和“X”语言描 述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。,第 二 章 极 限,第一节 数列的极限,一、数列及其简单性质,二、数列的极限,
2、三、数列极限的性质,四、数列的收敛准则,称为一个数列,记为 xn.,1.定义,数列中的每一个数称为数列的一项,xn=f(n)称为数列的通项或一般项,一、数列及其简单性质,数列也称为序列,2.数列的表示法,介绍几个数列,所有的奇数项,所有的偶数项,所有奇数项,3.数列的性质,单调性,有界性,(1)数列的单调性,单调增加,不减少的,单调减少,不增加的,统称为单调数列,数列,(2)数列的有界性,回想一下前面讲过的函数的有界性的情形,我学过吗？,数列的有界性的定义,如何定义数列无界？,有界的数列在数轴上和在直角坐标系中的图形会是什么样子？,想想：,从数轴上看,有界数数列 xn 的全部点,都落在某区间(
3、M*,M*)中.,观察例1 中的几个数列：,有些数列虽然无界,但它或者是下方有 界的,或者是上方有界的.,一个数列有界(有上界,有下界),则必有 无穷多个界(上界,下界).,现在来讨论如何定义数列的无界：,首先看有界性定义的关键所在,对所有的,证,分析,二、数列的极限,0,0,1,极限描述的是变量的变化趋势.,x1,x3,x2n-1,x2n,x4,x2,x,0,(,(,(,),),),*,“n 无限增大”记为 n.,此时称数列,当 n 时以零为,极限,记为：,这就是该数列的变化趋势,量化表示：n 时,xn a.,预先任意给定一个正数 0,不论它的值多么小,当 n 无限增大时,数列 xn 总会从
4、某一项开始,以后的所有项,都落在 U(0,)中.,（在 U(0,)外面只有有限项）,一般地,如果数列xn 当 n 时,列xn 当 n 时以 a 为极限,记为,xn 可以无限地趋近某个常数 a,则称数,此时,也称数列是收敛的.,0,0,1,若 xn 当 n 时没有极限,则称 xn 发散.,若,此时,也称数列 xn 是收敛的.,极限描述的是变量的变化趋势,数列的项不一定取到它的极限值.,数列极限的定义：,1.唯一性定理,若数列 xn 收敛,则其极限值必唯一.,想想,如何证明它？,三、数列极限的性质,设数列 xn 收敛,但其极限不唯一,不妨设有：,证,运用反证法,任意性,常数,由 的任意性,上式矛盾
5、,故 a=b.,唯一性定理的推论,充分必要条件,子数列的概念,在数列 xn:x1,x2,xn,中,保持各项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数列,记为,唯一性定理的推论往往用来证明或判断数列极限不存在,2.有界性定理,若数列 xn 收敛,则 xn 必有界.,证,即有,则,由数列有界的定义得：数列 xn 收敛,则必有界.,该定理的逆命题不真,即有界数列不一定收敛.例如,(1)n.,有界性定理的推论：,即 无界数列的极限不存在.,无界数列必发散.,发散的数列不一定都无界.例如,(1)n.,收敛的数列必有界.有界的数列不一定收敛.无界的数列必发散.发散的数列不一定无界.,3.保号性定理,证,由绝对值不等式的知识,立即得,a 0 的情形类似可证,由学生自己完成.,保号性定理的推论1：,这里为严格不等号时,此处仍是不严格不等号,由保号性定理,运用反证法证明,保号性定理的推论2：,在极限存在的前提下,对不等式两边可以同 时取极限,不等号的方向不变,但严格不等号也 要改为不严格不等号.,作业：P391;2（1)（4);7(1)(2),
