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1、第一章,二、无穷大,三、无穷小与无穷大的关系,一、无穷小,第四节,无穷小与无穷大,当,一、无穷小,定义1.若,时,函数,则称函数,例如:,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小.,时为无穷小.,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!,因为,当,时,显然 C 只能是 0!,C,C,时,函数,(或),则称函数,为,定义1.若,(或),则,时的无穷小.,其中 为,时的无穷小量.,定理 1.(无穷小与函数极限的关系),证:,当,时,有,对自变量的其他变化过程类似可证.,二、无穷大,定义2.若任给 M 0,一切满足不等式,的 x,总有,则称函数,当,时为无穷大,使
2、对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X),记作,总存在,注意:,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!,例如,函数,但,不是无穷大!,定义出发！,例.证明,证:任给正数 M,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x,有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线.,铅直渐近线,说明:,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,(自证),据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:,内容小结,1.无穷小与无穷大的定义,2.无穷小与函数极限的关系,3.无穷小与无穷大的关系,思考与练习,P42 题1,3,P42 题3 提示:,作业P42 2(2);4(1);8,
