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1、第3章 导数与微分,3.1 导数概念,3.2 导数基本运算与导数公式,3.3 隐函数与参变量函数求导法则,3.4 微分及其运算,3.5 高阶导数,目 录,3.1 导数概念,一、引入导数概念的3个实例,.,1.切线问题,割线的极限位置切线位置,如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,2速度问题,物理学中表示物体作匀速直线运动时，它在任何时刻,的速度公式是,.,其中,为物体经过的路程，,为经过路程,所用时间,设物体在真空中作自由落体运动，物体下落的路程,与下落时间,的函数关系为,.,其中,为重力加速度现在讨论如何,时刻的速度,.,表示物体下
2、落过程中在,设物体从,点开始下落，经过时间,落到点,，这时物体下落的路程为,取时间增量,，即下落时间由,变到,设这时物体下落到点,，在时间,时间内下落的路程为,物体在时间段,内下落的路程为,上式两端同除以,，得到物体在时间段,内的平均下,下落速度,设物体运动方程为,（路程,是时间,的函数），,当运动时间由,变到,时，,物体在,时间段内,经过的路程为,，,上式两端同,，得到物体在时间段,内的平均速度,除以,当,时，,的极限值就是物体在时刻,的速度，,3.产品总成本的变化率,则总成本相应的改变量为,总成本的平均变化率为,若极限,存在，则称此极限是产量 时的产品总成本的变化率.,设某产品的总成本C是
3、产量q的函数：C=C(q)，若产量由 变为,二、导数的定义,定义1 设函数,在点,的某一邻域内有定义，,当自变量,在,处取得增量,（点,+,仍在该,邻域内），,相应地函数取得增量,.,如果,与,之比当,时的极限存在，,则称函数,在点,处可导，,并称这个极限值,为函数,在点,处的导数，记为,即,也可记为,或,.,上式可改写为,或,例1 求函数,在,处的导数,.解 当,由1变到,时，函数相应的增量为,所以,例2,解,定理1 如果函数在一点可导，则函数一定在该点连续.,证,连续函数不存在导数举例,例如,注意:定理1的逆定理不成立.,例如,例如,2.右导数:,三、左导数和右导数,1.左导数:,定理2,例3,解,注意:,四、函数的导数,由定义求导数,步骤:,例4,解,例5,解,更一般地,例如,例6,解,例7,解,例8,解,四、几何意义,切线方程为,法线方程为,例8,解,由导数的几何意义,得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,五、小结,1.导数的实质:增量比的极限;,6.导数的几何意义:切线的斜率;,3.函数可导一定连续，但连续不一定可导;,4.求导数最基本的方法:由定义求导数.,5.判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,作业：习题3.1 题5，题7，题8,
