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1、1.1.1 任意角的概念,1、角的概念,初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是0,360)，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.,生活中很多实例会不在该范围。体操运动员转体720，跳水运动员向内、向外转体1080；经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？这些例子不仅不在范围0,360)，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？关键是用运动的观点来看待角的变化。,2角的概念的推广,“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转
2、到另一位置OB，就形成角 旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止的射线OB叫做角的终边，射线的端点O叫做角的顶点,“正角”与“负角”、“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角=210，=150，=660，,特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0）角的记法：角或可以简记成.,角的概念扩展的意义：,用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了,角有正负之分;如：=210,=150,=660.角可以任意大;实例：体操动作：旋转2周（3602=720）3周（3603=1080）还有
3、零角,一条射线，没有旋转.,角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角 要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样,用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）,（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；,（1）旋转中心：作为角的顶点.,（3）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360，角度的绝对值可大于360.于是就会出现720，540等角度.,3“象限角”,
4、为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30、390、330是第象限角，300、60是第象限角，585、1300是第象限角，135、2000是第象限角等,4终边相同的角,观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同.,探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k(kZ)个周角的和：390=30+360(k=1),330=30360(k=1)30=30+0360(k=0),1470=30+4360(k=
5、4)1770=305360(k=5),结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：|=+k360(kZ)即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和,注意以下四点：kZ；是任意角；k360与之间是“+”号，如k36030,应看成k360+(30)；终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.,例1.在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1)120；(2)640；(3)95012.,解：120=360+240，240的角与120的角终边相同，它是第三象限角 640=360+280，28
6、0的角与640的角终边相同，它是第四象限角,95012=3360+12948，12948的角与95012的角终边相同，它是第二象限角,例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在360720间的角写出来：(1)60；(2)21；(3)36314.,解：(1)S=|=k360+60(kZ),S中在360720间的角是 1360+60=280；0360+60=60；1360+60=420,(2)S=|=k36021(kZ)S中在360720间的角是 036021=21；136021=339；236021=699,(3)|=k360+36314(kZ)S中在360720间的角是 2360+3
7、6314=35646；1360+36314=314；0360+36314=36314,课堂练习,1锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90的角是锐角吗？区间(0,90)内的角是锐角吗？,答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0,90)内的角是锐角,2已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420，(2)75，(3)855，(4)510,答：(1)第一象限角；(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角.,3、已知,角的终边相同，那么的终边在（）A x轴
8、的非负半轴上 B y轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上,A,4、终边与坐标轴重合的角的集合是（）A|=k360(kZ)B|=k180(kZ)C|=k90(kZ)D|=k180+90(kZ),C,5、已知角2的终边在x轴的上方，那么是()A 第一象限角 B 第一、二象限角 C 第一、三象限角 D 第一、四象限角,C,6、若是第四象限角，则180是（）A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角,C,7、在直角坐标系中，若与终边互相垂直，那么与之间的关系是（）A.=+90o B=90o C=k360o+90o+,kZ D=k360o90o+,kZ,D,8、若90135，则的范围是_，+的范围是_;,(0,45),(180,270),9、若的终边与60角的终边相同，那么在0,360范围内，终边与角 的终边相同的角为_;,解：=k360+60，kZ.,所以=k120+20，kZ.,当k=0时，得角为20，,当k=1时，得角为140，,当k=2时，得角为260.,
