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1、保险精算之二,王 明 征大连理工大学管理学院2009年11月,第二章 利息理论,2,利息的基本理论,利息是借入资本需要支付的使用价值或 出让资本使用权得到的报酬：在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值。资金周转使用时间越长，实现的价值增值就越大。同时，由于受通货膨胀的影响，等额的货币在不同时间上的实际价值也不同。利息的计算与累积函数的形式、利息的计算次数、投资时期长短等有关,3,一、累积函数,总额函数：累积函数是单位本金的累计额，以 表示。其中，。,4,累积函数,a(t)通常为t 的连续函数，在坐标平面上表现为通过（0，1）点的曲线，如图2-1和图2-2所示a(t)为增函数时才能保证总额
2、函数的递增性和存在正的利息。有时，当利息定期结算时，也表现为不连续的阶梯函数，在定期内，为常数，定期结算后，上一个台阶，如图2-3所示。,5,利息率,利息率1年内1单位本金的利息就是实际年利息率 以 表示第n个基本计息时间单位的实际利率,6,单利和复利,单利：只在本金上生息设第t年实际利率it，1年末的累积额为:第2年末的累积额为:当各年利率均为i时，有,7,单利和复利,复利：在本金和利息上生息设第t年实际利率it，1年末的累积额为:第2年末的累积额为:当各年利率均为i时，有,8,单利与复利的区别：,利息可以按年结算，也可以按半年、季度和月结算。在单利下，计息单位不影响利息额；在复利下，年利使
3、率不变，但结算的时间单位不同，也会使实际利息值不同。,9,现值和贴现率,10,现值和贴现率,在复利下，,11,例2.1：某人1997年1月1日借款1000元，假设借款年利息率为5%，试分别以单利和复利计算：（1）如果1999年1月1日还款，需要的还款总额为多少？(2)如果1997年5月20日还款，需要的还款总额为多少？(3)借款多长时间后需要还款1200元？,12,例2.2：以10000元本金进行5年投资，前2年的利率为5%，后3年的利率为6%，以单利和复利分别计算5年后的累积资金。,13,现值和贴现率,在单利下，,14,现值和贴现率,贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间以年度衡量时
4、，成为实际贴现率。d表示一年的贴现率:dn表示第n年贴现率:,15,现值和贴现率,16,可见，di,现值和贴现率,17,现值和贴现率,18,19,20,名义利率与名义贴现率,名义利率:一年结算多次的规定的年利率。以 表示，m表示结算次数，,21,名义利率与名义贴现率,名义贴现率:一年结算多次的规定的年贴现率。以 表示，m表示结算次数，,22,23,24,25,利息力,利息力：衡量确切时点上利率水平的指标。定义利息力为，,26,故，,27,1 2 3 4 5 6 7 8,28,30000,20000,X,50000,利息问题实践：,29,6000,X,-12000,1995 1997 2001
5、2004,8000,30,4000,6000,X,5000,1996 2000 2002 2003,31,2000,6000,X,2000,1998,1995,7100,年金,年金：是收付款的一种方式，每隔一个相等的时间间隔的一系列固定数额的收付款方式。例如：购房时的按揭付款方式；退休购买养老金 期首付年金期末付年金,32,期首付年金现值,33,期末付年金现值,34,期首付年金终值,35,对于n年定期、每年1元、期首付的年金在n年末的终值为：,期末付年金终值,36,对于n年定期、每年1元、期末付的年金在n年末的终值为：,等额确定年金的终值和现值,37,n年定期的每年1单位元期首付年金、期末付年
6、金的现值和终值间关系图,一年多次收付的年金,对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金现值，以 表示，,38,一年多次收付的年金,39,对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期末付年金现值以 表示，,一年多次收付的年金,40,对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金在n 年末的终值为，,一年多次收付的年金,41,对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期末付年金在n 年末的终值为，,42,X,X,X,X,X,1,2,3,30,29,.,.,43,X,X,X,X,X,0,1,2,14,15,.,.,2000,44,45,永续年金,46,定义：收付时期没有限制，
7、每隔一个间隔永远连续收付的 年金，相当于前面定期年金当时期n趋于无穷大时 的值。,每年一元期末付永续年金现值为，,永续年金,47,其他永续年金现值为：,变额年金,变额年金是每次收付额不等的年金常见的有，每次收付额等差递增或递减每次收付额等比递增,48,变额递增年金,如果在n年定期内，第一年末收付1单位元，第2年末收付2单位元，以后每次比上一次递增1单位元的期末付年金现值以 表示。,49,变额递增年金,50,两者相减后得,代入上式后得,上述年金期首付时，年金现值为,变额递减年金,51,当第一年收付n元，以后每隔一年收付额减少一单位元的n年定期递减的期末付年金为，,上述定期递减年金在期首付时，为,
8、变额年金的终值是相应年金现值与利率累积系数之积,等比递增年金,52,对等比递增的年金，如果第一年1单位元，以后收付额每年递增j比例，n年定期的年金现值为：,53,54,等额分期偿还,等额分期偿还债务的方法是在规定的还款期内 每次偿还相等数额的还款方式。每次偿还金额为,55,56,在每期偿还的金额中，既包含当期应偿还的利息，也包含部分本金。偿还的利息等于期初尚未偿还本金余额与当期实际利率的乘积，每期的偿还金额扣减偿还的利息就是偿还的本金部分。未偿还本金余额就是计算日尚未偿还的借款。我们用 表示第k期末的未偿还本金余额，也就是第k次还款后需要在以后偿还的剩余还款额。经过n期偿还，在第n期末将还清全
9、部借款，借款余额为0.中间时点，未偿还本金余额可以采取过去法和将来法：在过去法下，未偿还本金余额等于借款本金扣减过去已偿还本金的差额。设每期期初的本金金额为，则每期的利息分别为，各期偿还的本金为 因此，各期末未偿还本金余额为：由此可见，第k期末的未偿还本金余额等于原始本金在k期末的累积值与过去所有已支付的款项在k期末的累计值的差额。,57,将来法下，未偿还本金余额是将来需要偿还的总金额在计算时的现值利用将来法与过去法计算的未偿还本金余额是相等的：,等额分期偿还表,58,变额分期偿还,变额分期偿还指每期偿还的金额不等的还款方式。原始贷款金额为B0，第k 期偿还的金额为Rk（k=1，2，,n）,5
10、9,例 2.26,60,一笔金额为nR 元的贷款，年利率为i，期限为n 年，每年偿还R 元本金，其分期偿还表如下：,偿债基金,偿债基金的还款方法是借款人在贷款期间分期偿还贷款的利息，同时为了能够在贷款期末一次性偿还贷款的本金，定期向一个“基金”供款，使该“基金”在贷款期末的积累值正好等于贷款本金。这一基金称为偿债基金，其基金累计的利率与贷款利率可能相等，也可能不等。,61,等额偿债基金,等额偿债基金方法下借款人每期向偿债基金的储蓄金额相等，设为D，如果该偿债基金每期的利率恒为j，n 为贷款期限，当期支付的利息设为I，则借款人每期支付总金额为：假设偿债基金的利率与贷款利率相等，即j=i，则借款人
11、每期支付总金额为，,62,变额偿债基金,设原始贷款本金为B0，贷款利率为i，偿债基金利率为j，借款人在第k 期末支付的总金额为Rk（k=1，2，n），则，第k 期末向偿债基金的储蓄额为(Rk iB0)，偿债基金在第n 期末的累积值等于原始贷款本金B0，即，当i=j时，,63,债券价值,按利息的支付方式，债券可分为零息债券和附息债券两种。零息债券在债券到期前不支付利息，而是在债券到期时随本金一次性支付所累计的利息。附息债券由发行人在到期日前定期支付利息，投资者可定期获得固定的息票收入。债券定价原理：债券的理论价格就是债券未来息票收入的现值和到期偿还值的现值之和。基本符号和概念：P债券的理论价格；
12、i投资者要求的收益率或市场利率；F债券的面值；C债券的偿还值；r债券的息票率；rF每期的息票收入；g债券的修正息票率；n息票的偿还次数；K偿还值按收益率i 计算的现值；G债券的基价，,64,债券价值,65,债券的价格基本公式：,溢价公式:,债券的价格应该等于债券未来收益的现值，即等于按市场利率 i计算的未来息票收入现值与偿还值的现值之和,当债券的价格P超过其偿还值C时 债券按溢价出售;当债券的价格P低于其偿还值时 债券按折价发行。溢价的正负对应于修正息票率g与市场利率i的关系。,债券的价格等于未来息票收入的现值和到期偿还值的现值之和，K是到期偿还值的现值。,66,基价公式：,Makeham公式：,债券的基价是投资者为了获得与息票收入rF相等的利息收入所必需的投资额，即iG=rF。基价公式的含义在于：如果投资者一基价G按收益率i进行投资，则每期可得与息票收入rF(-iG)相等的利息收入，到期时还可以获得金额为G的本金额。如果投资者购买了债券，每期得到的息票收入为rF，同时在债券到期日得到金额为C的偿还值，那么投资者购买债券比直接投资在到期日会多获得，其现值为。,债券的账面价值,整数息票支付周期的债券价格和账面值第k 期末的账面值为：任意时点的账面值,67,
