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1、第二章,利息理论,第一节,利息的基础知识,主要内容,累积函数利息利率单利与复利现值函数一年计息m次的实际利率与实际贴现率 利息力,1、累积函数,单位货币经过t 年后的价值。,A0为本金，At为t年后的价值。,2、利息,投资获得的报酬。t年内的利息为：第n年的利息为：,3、利率,单位资本的获得的利息。,例一,设：at=ct2+d(c、d为常数），a 5=126,A0=100求：A10、i10,解：,a0=1 a5=126得：c=5 d=1所以：at=5t2+1 A10=A0a10=50100 i10=(a10-a9)/a9=0.233,4、单利与复利的积累函数,1）单利 设年利率为i，期初本金为
2、1,1+i 1+2i 1+it,1,0 1 2 t,at=1+it,2）复利,设利率为i，期初本金为1。,1+i(1+i)2(1+i)t,1,0 1 2 t,at=(1+i)t,5、单利、复利的比较,（1）单利条件下，每年利息相等，实际利率减少。每年的利息：In=An-An-1=A0(an-an-1)=A0i每年的利率：,（2）、复利条件下，每年利息增大，实际利率不变,实际利息：,实际利率：,（3）、图形比较,当t(1+i)t 当t1时：1+it(1+i)t,at=1+it,at=(1+i)t,1,1,例二,李刚94年1月1日从银行借款1，000元，假设年利率为12%，试分别以单利和复利计算：
3、（1）96年1月1日时，他需还银行多少钱?（2）几年后需还款1，500元？,解：,（1）A1=1，000（1+it）=1，000（1+0.122）=1，240元 A2=1，000(1+i)2=1，254.4元（2）1，500=1，000（1+it1）t1=4.17年 1，500=1，000(1+i)t t2=3.58年,6、现值和贴现率,现值函数。未来t年1单位货币在现在的值。（1）单利：各年1元的现值。,1+i 1+2i 1+it,1,1 1 1 1,1/1+i,1/1+2i,折现过程,0,.,（2）复利 设年利率为i，各年1元的现值。,1+i（1+i）2（1+i）t,1,1 1 1 1,折
4、现过程,0,复利条件下：,折现因子：折现函数：,贴现率,1）计息的方式。滞后利息 期初利息 例：购买一年期面值为100元的国债，第一种方法：一年后还本付息110元；10元为滞后利息，是期初本金上的增加额。-利息。,第二种方法：购买时90元，一年后按面值返还。10元为期初利息，是期末值的减少额。-贴现额。,.,2）贴现率的定义：单位货币在一年内的贴现额。,年贴现额=Andn=An-An-1 以An为标准的减少额。年利息=An-1 in=An-An-1 以An-1为标准的增加额。,3）贴现率与利率,或：,4）贴现率与折现因子,公式一及：,公式二及：,例：94年1月1日的积累值为1，000元，d=1
5、0%求：1）90年1月1日的现值为多少？2）年利率为多少?3）折现因子为多少？,解：1）A0=1000(1-d)4=656.1元 2)3）v=1-d=0.9,7、一年计息m次的实际利率与贴现率,例：期初本金为1元，年利率为10%。如果一年计息一次，则年末积累值为1.10元。如果一年计息两次，则年末积累值为（1+10%/2）2=1.1025元 即年实际利率为10.25%,1）实际利率：每个度量时期内结转一次利息的利率。名义利率：每个度量时期内多次结转利息的利率。,设年名义利率为i（m），年实际利率为i。每次计息的实际利率为 i（m）/m。则：,所以：或：,2）实际贴现率：每个度量期内贴现一次的贴
6、现率。名义贴现率：每个度量期内多次贴现的贴现率。,设年名义贴现率为d(m),实际贴现率为d，则：每次的贴现率为,所以：或：,3）i(m)与d(m)的关系,1元钱在年末的累积值为：或：,则：得：,一般公式,如果一年结转m次利息，或一年贴现n次等价。则：,例（1）求每月结算的年利率为12%的实际利率；（2）求每季结算的年贴现率为10%的实际贴现率。,解（1）,（2）结论：结转次数越多，实际利率越大，实际贴现率越小。,例,2，000元的本金在6%的名义利率下投资，如果每年结转4次利息，求：1）2年零6个月后的积累值；2）年名义贴现率。,解,1）共计息10次,2）由公式得：,例:一张尚需6个月到期的债
7、券，其面值为2，000元，如果名义贴现率为6%，一年贴现4次，求该债券现在的价格为多少？,解：1）P=或：2）,8、利息力,瞬时利率。度量资本在某一时点上的获利能力。1）常数利息力定义：,。,或：,所以：a）,b）,利息力与累积函数,2）常数贴现力,当m，期初付与期末付没有区别。,3）利息力的一般式,定义,累积函数与利息力,由定义式：,两边积分,。,当 为常数时：,各年的利息力分别为：,积累函数值,第n年的利率为,。,现值函数值为：,例：设某项投资基金的利息力为，其中k为投资年度。求投资者在开始投资多少资金于该基金时，使得投资在5年末的终值为50，000元。,解：,例：设,1）,4）,第二节、
8、利率问题、时间问题求解,利率问题求解1）解析法2）线性插值法3）迭代法,1）解析法,例：期初的2，000元本金经过2年3个月之后的累积额为2，500元，试确定这笔投资的收益率。,解：,2）线性插值法,设y=f(i)，在区间（i1，i2）近似呈线性变化。且：f(i1)0，f(i0)=0,.,.,i1,i0,i2,f(i1),f(i2),y,0,x,斜率相等,例：某人现在投资500元，第一年末投资300元，第二年末再投资150元，这样在第四年末将积累到1，300元，求i,解：500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2=1300令：f(i)=500(1+i)4+300(1+i)3+1
9、50(1+i)2-1300,由试算得：,f(0.1)=12.85=f(i2)f(0.09)=-27.49=f(i1)由线性插值法得：,3）迭代法,多次运用线性插值法。例：用迭代法求上例，要求精确度达到小数点后5位。,解:上例中,f(i)=500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2-1300第一次近似：f(0.0968)=-0.1604=f(i1)试算：f(0.0969)=0.2447=f(i2),由线性插值法得：,时间问题的求解,1）解析式,2）72规则,。,3）加权算术平均公式,设在时间t1，t2，t3tn 分别需要偿还金额x1，x2，x3xn；如果他希望一次还清总贷款(x1
10、+x2+x3+xn)。求还款的时间。,。,近似公式,。,。,作业,1、李华90年1月1日在银行帐户上有5，000元存款。1）在每年10%的单利下，求94年1月1日的存款。2）在每年8%的复利下，求94年1月1日的存款。,。,2、张军94年初在银行帐户上有10，000元存款。1）在复利11%下计算90年的现值。2）在11%的贴现率下计算90年的现值。,习题,1、假设累积函数a(t)=at2+b，如果期初的100元在3年末可以累积到172元，试计算在第6年初投资100元，在第10年末可以累积到多少元？2、如果A(t)=100+5t，试计算i5。3、如果A(t)=100(1.1)t，试计算i5。4、
11、已知投资3 000元在两年后的利息是158元，试计算以相同的复利利率投资，起初的3 000元在3年半的利息。,5、第n年末的1元和第2n年末的1元在起初的现值之和为1元，试计算(1+i)2n是多少？,6、如果每季度接转一次利息的年名义利率为6%，试计算200元本金在3年零4个月末的值。7、如果i(m)=0.179 988 9,d(m)=0.173 734 8试 确定m为多大？8、当常数利息力为多大时，等价于每月接转一次利息的年名义利率6%。9、如果 内等价的年实际利率。,10、如果投资者愿意立即投资3 000元，并在第3年末追加一笔投资，希望在第5年末和第6年末个获得5 000元，假设i(4)
12、=5%，试确定投资者应该在第3年末追加多少投资？,11、有两笔金额均为3 000元的资金，如果一笔按6%的实际利率投资，另一笔按4%的实际利率投资，试计算经过多长时间以后，前者的累积值是后者的2倍。12、一项贷款的年实际利率为5%，原来的还款计划是：第1年末偿还5 000元，第2年末偿还6 000元，地4年末再偿还5 000元正好还清。如果借款人希望一次还清16 000元的贷款，试计算合理的还款时间。,。,13、如果现在投资300元，第1年末投资200元，第2年末投资100元，到第3年末时将累积到800元，试计算实际利率为多少？14、厂商向零售商提供了两种可供选择的付款方式：（1）立即付款，可以享受20%的价格折扣；（2）6个月后付款，可以享受15%的价格折扣。当实际利率为多少时，这两种付款方式对零售商没有区别？,
