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1、变化率与导数,问题1 气球膨胀率,在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?,结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.,（一）平均变化率,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s)存在函数关系,如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态,那么:,在0 t 0.5这段时间里,在1 t 2这段时间里,思考：求t1到t2时的平均速度,平均变化率,令x=x2 x1,f=f(x2)f(x1),则,容
2、易看出点B,C之间的曲线较点A,B之间的曲线更加“陡峭”.,如何量化陡峭程度呢？,该比值近似量化B,C之间这一段曲线的陡峭程度.,称该比值为曲线在B,C之间这一段平均变化率.,B,A,C,说明:(1)平均变化率就是:两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)连线的斜率.,（以直代曲思想）,（数形结合思想）,平均变化率,一般的，函数在区间上 的平均变化率为,其几何意义是表示曲线上两点连线(即曲线割线)的斜率,结论：,例1、已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间-3,-1,0,5上 f(x)及g(x)的平均变化率.,例2、已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区间上
3、的平均变化率：,（1）1,3；（2）1,2；（3）1,1.1；（4）1,1.001.,4,3,2.1,2.001,（5）0.9,1；（6）0.99,1；（7）0.999,1.,变题:,1.99,1.9,1.999,思考:为何趋近于2呢？2的几何意义是什么？,数学应用,（二）、导数的概念,在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,又如何求瞬时速度呢?,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,求：从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,平均变化率近似地刻画了曲
4、线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,当t趋近于0时,即无论 t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值 13.1.,从物理的角度看,时间间隔|t|无限变小时,平均速度 就无限趋近于 t=2时的瞬时速度.因此,运动员在 t=2 时的瞬时速度是 13.1.,表示“当t=2,t趋近于0时,平均速度 趋近于确定值 13.1”.,从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,探 究:,1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率怎样表示?,定义:,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
5、是,称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作,或,即,求导数一般方法：,一差、二比、三极限,题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第 x h时,原油的温度(单位:)为 f(x)=x2 7x+15(0 x8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.,解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是,和,根据导数的定义,所以,同理可得,在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.,例1.(1)求函数y=3x2在x=1处
6、的导数.,(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数,(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.,典例分析,1.曲线的切线,如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+x,y0+y)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM/x轴,QM/y轴,为PQ的倾斜角.,P,Q,割线,切线,T,请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线P
7、Q的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限.,注意,曲线在某点处的切线:(1)与该点的位置有关；(2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。,因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:(1)先利用切线斜率的定义求出切线的斜率(2)利用点斜式求切线方程.,例2:已知曲线 上一点P(1,2),用斜率的定义求 过点P的切线的倾斜角和切线方程.,故过点P的切线方程为:y-2=1(x-1),即y=x+1.,练习:求曲线 上一点P(1,-1)处的切线方程.,答案:y=3x-4.,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)点P处切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,练习：如图已知曲线 上一点,求(1)点 处的切线斜率；(2)点 处的切线方程.,小结：,1求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量s=s(t+t)-s(t)(2)求平均速度（3）求极限,2由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0)(2)求平均变化率（3）求极限,教材 例题23,
