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1、,第一章,一、自变量趋于有限值时函数的极限,第三节,自变量变化过程的六种形式:,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的极限,一、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,引例.测量正方形面积.,面积为A),边长为,(真值:,边长,面积,直接观测值,间接观测值,任给精度,要求,确定直接观测值精度:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义1.设函数,在点,的某去心邻域内有定义,当,时,有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,即,当,时,有,若,记作,几何解释:,极限存在,函数局部有界,(P36定理2),这表明:,机动 目录 上页
2、下页 返回 结束,例1.证明,证:,故,对任意的,当,时,因此,总有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.证明,证:,欲使,取,则当,时,必有,因此,只要,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.证明,证:,故,取,当,时,必有,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.证明:当,证:,欲使,且,而,可用,因此,只要,时,故取,则当,时,保证.,必有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.保号性定理,定理1.若,且 A 0,证:已知,即,当,时,有,当 A 0 时,取正数,则在对应的邻域,上,(0),则存在,(A 0),(P37定理3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,若取
3、,则在对应的邻域,上,若,则存在,使当,时,有,推论:,(P37 推论),分析:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 2.若在,的某去心邻域内,且,则,证:用反证法.,则由定理 1,的某去心邻域,使在该邻域内,与已知,所以假设不真,(同样可证,的情形),思考:若定理 2 中的条件改为,是否必有,不能!,存在,如,假设 A 0,条件矛盾,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.左极限与右极限,左极限:,当,时,有,右极限:,当,时,有,定理 3.,(P38 题8),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.设函数,讨论,时,的极限是否存在.,解:利用定理 3.,因为,显然,所以,不存在
4、.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,定义2.设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线 y=A 为曲线,的水平渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,A 为函数,例6.证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线 y=A 仍是曲线 y=f(x)的渐近线.,两种特殊情况:,当,时,有,当,时,有,几何意义:,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.函数极限的,或,定义及应用,2.函数极限的性质:,保号性定理,与左右极限等价定理,思考与练习,1.若极限,存在,2.设函数,且,存在,则,例3,作业 P37 1(4);2(2);5;6;7;9,Th1,Th3,Th2,是否一定有,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,？,
