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1、第二章 分离变量法,2.0 预备知识常微分方程,二阶常系数线性方程的标准形式,2.0 预备知识常微分方程,特征根,(1)有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,齐次方程,特征方程,2.0 预备知识常微分方程,(2)有两个相等的实根,齐次方程的通解为,特解为,(3)有一对共轭复根,齐次方程的通解为,特征根为,特解为,2.0 预备知识常微分方程,2.0 预备知识常微分方程,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,二阶常系数非齐次线性方程,2.0 预备知识常微分方程,2.1 有界弦的自由振动,分离变量法是求解偏微分方程最基本和常用的方法。理论依据：线性方程的叠加原理和S
2、turm-Liouville 理论。基本思想：将偏微分方程的求解化为对常微分方程的求解,2.1 有界弦的自由振动,2.1 有界弦的自由振动,研究两端固定均匀的自由振动.,定解问题为：,特点:方程齐次,边界齐次.,(1)没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关，按同一方式随时间振动，可统一表示为;,(2)各点振幅 随点 而异，而与时间无关，用 X(x)表示,所以驻波可用 表示。,驻波的特点：,端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点之间往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻波。,2.1 有界弦的自由振动,2.1 有界弦的自由振动,设 且 不恒为零，代入方程和边界条件中得,由 不恒为零，有：,取
3、参数,.,利用边界条件,2.1 有界弦的自由振动,则,特征值问题,分三种情形讨论特征值问题的求解,函数X(x)称为特征函数,2.1 有界弦的自由振动,2.1 有界弦的自由振动,由边值条件,(i)方程通解为,(ii)时，通解,由边值条件得,C1=C 2=0 从而，无意义.,无意义,2.1 有界弦的自由振动,由边值条件,从而,即,(iii）时，通解,故,而,得,2.1 有界弦的自由振动,再求解T：,其解为,所以,叠加,.,2.1 有界弦的自由振动,将 展开为Fourier级数，比较系数得,代入初始条件得：,定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的
4、。,再求解T：,其解为,所以,叠加,.,2.1 有界弦的自由振动,将 展开为Fourier级数，比较系数得,代入初始条件得：,2.1 有界弦的自由振动,定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。,（特征值问题）,齐次边界条件,（特征函数）,分离变量法图解,2.1 有界弦的自由振动,则无穷级数解,为如下混合问题的解,2.1 有界弦的自由振动,弦上各点的频率 和初位相 都相同，因而没有波形的传播现象。,弦上各点振幅 因点而异,在 处，振幅永远为0,二、解的物理意义,特点,最大振幅,频率,初位相,u(x,t)是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的
5、驻波叠加而成。,n1的驻波称为基波,n1的驻波叫做n次谐波.,2.1 有界弦的自由振动,例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦做微小横向振动时的位移，其中 与弦的材料和张力有关.,解 设位移函数为，则需要求解下列定解问题,2.1 有界弦的自由振动,因此，所求的解为：,=,2.1 有界弦的自由振动,解：令,得,化简:,例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题.,第二类边界条件,引入参数 得,2.1 有界弦的自由振动,2.1 有界弦的自由振动,得C1=C 2=0 从而，无意义,分离变量：,时，,由边值条件,(ii)时,(iii)时,则 而,由边值条件,由边值条件,从而,2
6、.1 有界弦的自由振动,本征值,本征函数,2.1 有界弦的自由振动,T 的方程,其解为,所以,故,代入初始条件:,将 展开为傅立叶余弦级数，比较系数得,2.1 有界弦的自由振动,2.2 有限长杆的热传导问题,例1细杆的热传导问题,长为 l 的细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热,x=0 端温度为0，x=l 端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0，初始温度为 求此杆的温度分布。,解：定解问题为,2.2 有限长杆的热传导问题,得本征问题,2.2 有限长杆的热传导问题,当 或 时,当 时,由 得,由 得 故,即,令,有,函数方程,2.2 有限长杆的热传导问题,由图1看出，函数方程有
7、成对的无穷多个实根,故本征值为：,2.2 有限长杆的热传导问题,2.2 有限长杆的热传导问题,对应的本征函数,的方程：,解为,故,由初始条件得,可以证明,函数系 在 上正交，,且模值,（二）利用边界条件,得到特征值问题并求解,（三）将特征值代入另一常微分方程，得到,（四）将 叠加，利用初始条件确定系数,（一）将偏微分方程化为常微分方程,（方程齐次）,分离变量法解题步骤,（边界条件齐次）,2.2 有限长杆的热传导问题,分离变量法适用范围：偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的。其求解的关键步骤：确定特征函数和运用叠加原理。,注,2.2 有限长杆的热传导问题,总结：端点边界条件与特征值，特
8、征函数的关系,2.2 有限长杆的热传导问题,练习：求下列定解问题的解,其中,2.2 有限长杆的热传导问题,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,1.矩形域上拉普拉斯方程的边值问题,例1矩形薄板稳恒状态下温度分布.设薄板上下底面绝热，一组对边绝热，另一组对边的温度分别为零摄氏度和，求稳恒状态下薄板的温度分布。,定解问题为：,解,再利用 x=0 和 x=a 处的齐次边界条件得,故,当 时，,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,当 时，,将 代入 有解：,考虑边界条件（y方向上），有,解得,比较系数,所以解为,作为例子取，可求得,
9、于是,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,考察一个半径为r0的圆形薄板稳恒状态下的温度分布问题,设板的上下两面绝热,圆周边界上的温度已知为,求稳恒状态下的温度分布规律。,2.圆域上的拉普拉斯方程的边值问题,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,采用平面极坐标。,令,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,分离变量,代入方程得,齐次偏微分方程化为两个常微分方程:,（一）将偏微分方程化为常微分方程,由 可知，,又圆内各点的温度有界，因而,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,（二）利用条件,确定特征值问题并求解,得到两个常微分方程的定解问题,(1),(2),2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,先求哪一个？
10、,先求(1)啊!,可以确定特征值啊!,为什么？,1)时，无非零解；,特征值,特征函数,以 为周期,必须是整数,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,（三）将特征值代入另一常微分方程，得,得到方程通解,满足有界性条件的通解,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,（四）将 叠加,利用边界条件确定系数,满足周期性和有界性条件的通解为:,利用边界条件，得,由此可以确定系数,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,注:经过化简,方程的解可以表示为,称为圆域内的泊松公式.,2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题,2.4 非齐次方程的解法,2.4 非齐次方程的解法,(I),非齐次振动
11、方程定解问题,特征函数法,令,其中,(1),(2),2.4 非齐次方程的解法,令,为待定函数.,并将 按特征函数系展为级数,其中,(3),(4),(1),2.4 非齐次方程的解法,将(3),(4)代入(1)得,两端比较,将(3)代入初始条件,2.4 非齐次方程的解法,常数变易法,所以,2.4 非齐次方程的解法,例在环形区域 内求解下列定解问题,解考虑极坐标变换:,2.4 非齐次方程的解法,定解问题可以转化为:,相应的齐次问题的特征函数系为:,2.4 非齐次方程的解法,于是可以设原问题的解为:,代入方程，整理得,2.4 非齐次方程的解法,比较两端 和 的系数可得,2.4 非齐次方程的解法,由边界
12、条件，得,所以,2.4 非齐次方程的解法,由边界条件，可知,满足的方程是齐次欧拉方程，其通解的形式为,2.4 非齐次方程的解法,下面求.,方程的通解为,由端点的条件，得,原问题的解为,2.4 非齐次方程的解法,2.5 非齐次边界条件的处理,2.5 非齐次边界条件的处理,处理非齐次边界条件问题的基本原则是:选取一个辅助函数,通过函数之间的代换:使得对新的未知函数 边界条件为齐次的.,例1振动问题,（I）,解：,取,故,2.5 非齐次边界条件的处理,代入(I),得 的定解问题(II),令,2.5 非齐次边界条件的处理,如果仍取 的线性函数作为，则有,此时除非，否则这两式互相矛盾。,当x0和x=l
13、满足第二类边界条件,应取,2.5 非齐次边界条件的处理,例 定解问题,其中A,B为常数.,解:令,2.5 非齐次边界条件的处理,代入方程，得,选 满足,它的解为,2.5 非齐次边界条件的处理,于是 满足的方程为：,2.5 非齐次边界条件的处理,利用分离变量法，求解得,其中,从而，原定解问题的解为,2.5 非齐次边界条件的处理,一.选择适当的坐标系.原则:边界条件的表达式最简单.二.若边界条件是非齐次的,引进辅助函数把边界条件化为齐次的。三.对于齐次边界条件、非齐次方程的定解问题，可将问题分解为两个,其 一是方程齐次,并具有原定解条件的定解问题(分离变量法)；其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的
14、定解问题(特征函数法).,一般的定解问题的解法,2.5 非齐次边界条件的处理,例 求下列定解问题的解,其中 为常数。,解 1）边界条件齐次化，令,2.5 非齐次边界条件的处理,于是 满足如下定解问题,2）将问题分解为两个定解问题。设,2.5 非齐次边界条件的处理,2.5 非齐次边界条件的处理,3）求解问题(I),(II)。,首先，利用分离变量法求解问题(I)。,特征值及相应的特征函数,2.5 非齐次边界条件的处理,则,利用初始条件确定系数,计算可得,2.5 非齐次边界条件的处理,其次，利用特征函数法求解问题(II),将 按问题（I）的特征函数系进行傅立叶展开,代入问题（II）的方程及初始条件，
15、得,2.5 非齐次边界条件的处理,问题转化为求解下列常微分方程的初值问题,解得,所以,2.5 非齐次边界条件的处理,4）综合上述结果,得到原问题的解,2.5 非齐次边界条件的处理,对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言,应根据求解区域的形状适当的选取坐标系,使得在此坐标系下边界条件的表达方式最简单,便于求解.例如,对于圆域、圆环可以采用极坐标。应当指出,只有当求解区域非常规范时，才可以应用分离变量法求解拉普拉斯方程的定解问题，或利用特征函数法求解泊松方程的定解问题.,注：圆域内的周期性条件及有界性条件在题目中是不给出的，这些条件需根据对题目的分析自己写出.,2.5 非齐次边界条件的处理,Sturm-Liouville特征值理论,正则施图姆-刘维尔问题,其中 不同时为零，不同时为零，且,（1）存在无穷多个实的特征值，它构成一个递增数列，且最小特征值 即,每个特征值 都对应唯一的特征函数，构成特征函数列,（2）对应于不同特征值和的特征函数关于权函数正交，即,（3）任意分段光滑函数都可以按特征函数系展开成广义傅立叶级数，,
