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1、初等代数第8讲,初等函数的性质,一有界性,定义9 如果存在正数M，对于函数f(x)的定义域内（或其子集）的一切值，都有|f(x)|M成立，那么函数f(x)叫做在定义域内（或其子集）上的有界函数。图像上的表现,（P152例8）证明下面的命题：（1）函数y=是有界函数；（2）函数y=是无界函数。,二单调性,单调性的定义函数y=f(x)在区间a,b上单调增，等价于：1）对任何x1,x2a,b(x1x2)有(f(x2)-f(x1)/(x2-x1)0（差商为正）；2）对任何x1,x2a,b(x1x2)有(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0（变分为正）。,复合函数、反函数的单调性,定理3 如果函数y=
2、f(u)和函数u=g(x)的增减性相同，则复合函数y=fg(x)是增函数；如果函数y=f(u)和函数u=g(x)的增减性相反，则复合函数y=fg(x)是减函数。定理4 如果函数y=f(x)是定义在区间D上的单调函数，那么在区间D上一定有反函数x=f-1(y)存在，x=f-1(y)也是单调的，并且它和y=f(x)的增减性相同。注：定理4常用来断定反函数的存在，但是它的条件是充分条件，而非必要条件。例如分段函数,课本例题解读,p154例9讨论函数f(x)=x+1/x的单调性，并作出它的图像。一般的，诸如f(x)=ax+b/x(a,b均不为0）的单调性、图像如何呢？P157例10 设a1，讨论函数y
3、=ax2+2x-3的单调性和有界性。P157例11 已知点M(1,2)既在函数y=f(x)=ax2+b(x0)的图像上，又在其反函数的图像上。（1）求反函数y=f-1(x)；a=-1/3,b=7/3（2）证明f-1(x)在其定义域上是减函数。,补充例1 讨论下列函数的单调区间：1）f(x)=-x；2）f(x)=。,例2 试求方程1x+2x+3x+9x=10 x的解集中各元素之和的整数部分。,三、函数的奇偶性,定义11 设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意xD，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于任意xD，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。,2奇偶性的判断
4、1）函数运算后的奇偶性,同为奇（或偶）函数的和与差的奇（或偶）不变；奇偶性不同的函数和差后如何？奇（偶）函数的倒数（分母不为0）仍为奇（偶）函数；乘除如何？如果奇函数的反函数存在，且定义在对称于原点的数集上，则此反函数仍为奇函数。,2）复合函数的奇偶性,（1）由奇偶函数复合而成的复合函数为奇函数的充要条件是这些函数都是奇函数。复合为偶函数的充要条件是这些函数中至少有一个偶函数。（2）设复合函数f2(f1(x)的定义域为D，如果f1(x)为偶函数，那么f2(f1(x)一定是偶函数。,3奇偶性运用举例：,例 解方程(2x+9)2005+x2005+3x+9=0。注意：构造函数f(t)=t2005+
5、t。则f(2x+9)=-f(x)=f(-x)x=-3,四、函数的周期性,定义12：设f(u)是定义在数集D上的函数，如果存在不为0的常数T，对任何xD都有xTD，且f(x+T)=f(x)总能成立，则称f(x)为周期函数。若T为f(u)的一个周期，则nT(n是非零整数）也是f(u)的一个周期。最小正周期如果函数f(x)具有最小正周期T0，则f(x)的任一正周期T一定是T0的正整数倍。,例讲,例1 证明y=x是周期函数。思路：判断周期，然后加以验证。例2 用反证法证明函数y=xcosx 不是周期函数。证明：假定它是周期函数，令周期为T，则由定义，取特殊值，推出矛盾。练习：判断函数是否周期函数?1.
6、f(x)=sinx22.f(x)=xsinx答：均不是周期函数,最小正周期有关问题,例1 证明y=sinx的最小正周期是2。1：求出全部周期；2：用反证法说明比2小的均不为其周期。例2 设函数f(x)=sinnx的最小正周期为T。试证：当n为奇数时T=2；当n为偶数时T=。,函数经运算、复合后的周期性问题,定理6 设y=f(x)是定义在集合D上的周期函数，其最小正周期为T。则有（1）函数kf(x)+c(k,c为常数且k0)仍然是D上的周期函数，且最小正周期仍为T。（2）函数k/f(x)(k为非0常数)是在集合x|f(x)0,xD上的周期函数，最小正周期仍为T。(3)f(ax+b)是(a0,ax
7、+bD)是以T/|a|为最小正周期的周期函数。,复合函数的周期性,定理7 设u=g(x)是定义在集合D上的周期函数，其最小正周期为T。如果f(x)是定义在集合E上的函数，且当xD时，g(x)E，则复合函数fg(x)是集合D上以T为周期的周期函数。注意：fg(x)和g(x)的最小正周期未必相同。一般地说，fg(x)的最小正周期不大于g(x)的最小正周期。例如y=cos2x。,函数运算后的周期性,定理8：函数f1(x),f2(x)都是定义在集合D上的周期函数，且周期分别为T1,T2，若T1/T2为有理数，则它们的和与积f1(x)+f2(x)；f1(x)f2(x)也是D上的周期函数，T1与T2的公倍
8、数是它们的和与积的一个周期。f1(x)-f2(x)；f1(x)/f2(x)也有类似的结论。,定理8注记,注：10 定理8没有肯定T的最小性。如sin2x和cos2x。20 定理8的条件是充分的，而不是必要的。例如，两个非周期函数的和或积也可能是周期函数。30 利用数学归纳法，可把定理8推广到任意有限个函数的情形。例17 讨论函数y=cosx+sinxtg2x/3的周期性。,周期函数运算后的周期性,40 如果把f1(x)与f2(x)限定为集合D上的连续周期函数，T1和T2分别是它们的最小正周期，则f1(x)+f2(x)；f1(x)f2(x)是周期函数的充要条件是T1/T2为有理数。上述必要性证明
9、，用初等方法可证如下命题：对于正、余弦函数f1(a1x)=sina1x或cosa1x，f2(a2x)=sina2x或cosa2x，则f1(a1x)与f2(a2x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2为有理数。以sina1x-cosa2x为例。据此可以判断sinx+sinx是非周期函数。,关于最小正周期,在什么条件下，周期函数有最小正周期呢？定理：“非常数值的连续周期函数一定存在最小正周期”。该定理还可加强为“设f(x)是非常数值的周期函数，假如f(x)在某点x0是连续的，则f(x)有最小正周期”。这在很大程度上解决了最小正周期的存在性问题，但要具体找出最小正周期还无定理为据。,*例、判断下述命题是否成立：“已知T1、T2分别是f(x)、g(x)的最小正周期，则T1、T2的最小公倍数是f(x)+g(x)的最小正周期”。,
