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1、第五章 动态电路的瞬态分析,5.1 电容元件与电感元件,一、电容元件(capacitor),即时性元件与动态元件,按介质材料分为：云母电容、瓷介电容、纸介电容、有机薄膜电容、电解电容,1.电容及其伏安关系特性：,C 称为电容器的电容,单位：F(法)(Farad，法拉)F=C/V,常用F，nF，pF等表示。,+q,电容积累的电荷量：,q=Cuc,q,C=q/u tg,线性电容的VAR：(设uc，ic 取关联参考方向),即：,线性电容quc 特性,非线性电容quc 特性,说明：,(1)ic的大小取决与 uc 的变化率，与 uc 的大小无关；(微分形式),(3)若uc，ic非关联取向，则 ic=Cd
2、uc/dt。,(2)电容元件是动态元件。,特例：如右图,uc=E(直流）,ic=0,电容元件具有隔直流通交流的特点。直流电路中电容相当于开路。,ic=0,电容充放电形成电流：,(1)uc0，duc/dt0，则ic0，q，正向充电(电流流向正极板)；,(2)uc0，duc/dt0，则ic0，q，正向放电(电流由正极板流出)；,(3)uc0，duc/dt0，则ic0，q，反向充电(电流流向负极板)；,(4)uc0，则ic0，q，反向放电(电流由负极板流出)；,例：如图(a)电路，u(t)波形如图(b)，求电流ic的波形。,解：,2.电容的记忆性：,微分形式VAR,积分形式VAR,其中：,例：如图(
3、a)电路，uc(0)=-1V，C=0.5F，is(t)波形如图(b)，t=0时电流源开始对电容充电，求电容电压uc(t)t 波形。,(4)t3s时：uc(t)=-2V,3.电容的惯性（电容电压的连续性）,如前例，当充电电流ic(t)为有限大（非无穷大）时，尽管ic(t)在某些时刻不连续，但uc(t)却连续。即电容电压不能突变，称为电容的惯性。,t=0，0-，0+的意义,0-,0+,即：uc(0+)=uc(0-),可推广到：uc(t0+)=uc(t0-),4.电容的储能,故电容是非耗能元件，它本身不消耗能量，起存储、转化电场能的作用。,0，表吸收功率，转化为电场能储存,0，表释放所存储的电场能,
4、电容储能：,即：,从t0到 t 电容储能的变化量：,可见电容储能只与该时刻电压有关，而与ic 无关。,故电容电压uc(t)表征电容储能状态的物理量 称为电容的状态变量。,二、电感元件(inductor),线性电感元件：电感元件的磁链与电流 iL成正比。（如：空心线圈）,1.电感元件 及其VAR,如右图电感线圈，当线圈中通以电流iL时，建立起磁通。,定义：=N 磁链，单位：韦伯（Wb),定义：L=/iL 线圈的电感，单位：亨利（H),电感的大小由线圈的匝数、几何形状、尺寸及其芯材料的磁导率等因素决定。,非线性电感元件：电感元件的磁链 与电流 iL不成正比。（如：铁芯线圈）,uL,+,L=/iL
5、tg,线性电感 iL 特性,非线性电感 iL 特性,当iL变化时，、相应变化，由焦耳楞次定律，必产生感生电压uL，试图抑制的变化。,对于线性电感，设uL,i L取关联参考方向:,或,自感电压：,注：(1)uL的大小取决与 i L的变化率，与 i L的大小无关。(2)电感元件是动态元件。当 i L为常数(直流)时，diL/dt=0 uL=0。电感在直流电路中相当于短路线。(3)uL，iL为非关联方向时，uL=LdiL/dt。,2.电感元件是一种记忆元件。,其中：,称为电感的初始电流,(b)相应的等效电路,(a)具有初始电流的电感,3.电感的惯性（电感电流的连续性）,iL(0+)=iL(0-),即
6、：电感的电流不能突变。,4.电感的储能,功率：,0,表吸收功率,转化为磁场能储存起来。,0,表产生功率,即释放所储存的磁场能。,注：电感是非耗能元件，它本身不消耗能量，而是起存储转换磁场能 的作用。电感的储能只与其电流iL有关，与其电压无关。故电感电流iL(t)是表征电感储能状态的物理量，称为电感的状态变量。,从t0 到t 电感储能的变化量：,某时刻t 电感的储能：,即：,电容元件与电感元件的比较：,电容 C,电感 L,变量,电流 i磁链,关系式,电压 u 电荷 q,结论：,(1)元件方程是同一类型；,(2)若把 u-i，q-，C-L，i-u互换,可由电容元件的方程得到电感元件的方程；,(3)
7、C 和 L称为对偶元件,、q等称为对偶物理量。,*显然，R、G也是一对对偶元素:,I=U/R U=I/G,U=RI I=GU,对偶原理(Dual Principle),1.对偶电路：,例1.,网孔电流方程：,(R1+R2)il=us,节点电压方程：,(G1+G2)un=is,若R1=G1，R2=G2，us=is，,则两方程完全相同，解答il=un也相同。,2.对偶元素：,节点,网孔,节点电压,网孔电流,KCL,KVL,L,C,R,G,is,us,串联,并联,CCVS,VCCS,3.对偶原理：,（或陈述）S成立，则将S中所有元素，分别以其对应的对偶,5.2 换路定理与初始值的计算,换路,信号突然
8、接入或改变电路的通断电路参数的改变,电路换路后必然引起过渡过程。过渡过程是一种稳态到另一种新的稳态之间的过程。,过渡过程（瞬态过程）,1.换路及过渡过程的产生,持续时间一般很短（sms)其间电压电流与稳态时变化规律不同，常出现高电压、大电流（可能损坏设备）。如：高压开关断闸产生火花。,瞬态过程的分析方法,经典法：由VAR、KVL、KCL建 微分方程并求解。,变换域分析法：如拉普拉斯变换（复频域分析法）,过渡过程（瞬态过程）的特点：,电阻：纯耗能元件，无过渡过程。（即时性元件）,电感与电容：储能元件，有过渡过程。（动态元件）,2.换路定理,电路的状态量（储能状态）：电容电压和电感电流,通常设电路
9、换路发生在t=0时刻，则：,原始状态（t=0-时的状态）,初始状态（t=0+时的状态）,*零状态电容（uc=0)与零状态电感（iL=0),换路定理:,在电容支路电流ic为有限值的情况下，换路瞬间，电容端电压uc保持不变。,在电感支路电压uL为有限值的情况下，换路瞬间，电感中电流iL保持不变。,数学形式：,uc(0+)=uc(0-),iL(0+)=iL(0-),实质：电容所储存的电场能和电感所储存的磁场能 不能突变。即电路的储能状态不能突变。,3.初始值的计算,解：,t0时，电路处于稳态 iL(0-)=0 A,t=0+时，由换路定理 iL(0+)=iL(0-)=0 A,作t=0+时刻等效图（图b
10、),uL(0+)=Us-RiL(0+)=6-20=6V,t=时（图c），电路重新达到稳态，L相当于短路线。,iL()=6/2=3A,uL()=0,电感电流 iL不能突变，即iL(0+)=iL(0-)，但电感电压uL可能突变。本例中 uL(0+)不等于uL(0-),同理，电容电压 uc不能突变，即uc(0+)=uc(0-)，但电容电流ic可能突变。,注：,例:如图(a)，电路原处于稳态，K于t=0时刻闭合，求初 始值ic(0+)、uL(0+)及i(0+)。求 ic()、uL()及 i()。,解：,求原始状态uc(0-)及 iL(0-)t0时（直流稳态），故：电容视为开路，电感视为短路。,即：ic
11、(0-)=0 uL(0-)=0 故：iL(0-)=Us/（R2+R3)=12/（4+2）=2A uc(0-)=R2iL(0-)=42=8V,由换路定理有：iL(0+)=iL(0-)=2A uc(0+)=uc(0-)=8V 作0+等效图（图b）,ic(0+),i(0+),在0+等效图中:,电容元件用uc(0+)电压源代替,电感元件用iL(0+)电流源代替,激励源取t=0+时Us(0+),由0+等效图有：,故 ic()=0 uL()=0 i()=12/4=3A,t=时作等效图c 此时电路重新达到直流稳态 电容视为开路，电感视为短路。,例：如图(a)零状态电路，K于t=0时刻闭合，作0+图 并求ic
12、(0+)和uL(0+)。,t0时，零状态 uc(0-)=0 iL(0-)=0,解:,由换路定理有：uc(0+)=uc(0-)=0 iL(0+)=iL(0-)=0,作0+图：零状态电容零值电压源 短路线 零状态电感零值电流源 开路,由0+图有：ic(0+)=Us/R1 uL(0+)=uR(0+)=Us,注：ic与 uL在t=0时刻有突变。,练习：如图电路原处于稳态，uc2(0-)=0，t=0时刻K闭合，作0+图并求i(0+)、i1(0+)及i2(0+)。,解：,(1)uc1(0-)=510=50V uc2(0-)=0,(2)由换路定理：uc1(0+)=uc1(0-)=50V uc2(0+)=uc
13、2(0-)=0,(3)由0+图用节点分析法：,得：ua=30V,进一步可得：i(0+)=3A i1(0+)=-4A i2(0+)=6A,思考：,电容、电感有时看作开路，有时看作短路，有时看作电压源（对电容），有时又看作电流源（对电感），为什么？,5.3 直流一阶电路的时域经典求解法,电路的阶数,一阶电路（First Order Circuit),零输入响应和零状态响应,一般情况下，电路的响应是由输入激励信号和内部储能元件初始储能共同作用产生。,零输入响应yzi(t)：仅由电路初始储能引起的响应。（输入激励为零）,零状态响应yzs(t)：仅由输入激励引起的响应。（初始储能为零）,一、一阶电路的零
14、输入响应,1.RC电路的放电过程：,如右图，已知uc(0-)=U0，K于t=0时刻闭合，分析t0时uc(t)、i(t)的变化规律。,各变量参考方向如图，t0时，由KVL有：,Ri(t)=uc(t),又有VAR:,整理有：,一阶常系数齐次微分方程,一阶常系数齐次微分方程,其特征根方程：,特征根,又有初始条件：uc(0+)=uc(0-)=U0（换路定理）,作uc(t)和 i(t)波形如图（b）,时间常数=RC 量纲：时间量纲(s),电路的固有频率（natural frequency）,能量去向,它决定了电路的响应模式（衰减、发散、振荡）,，衰减越慢，衰减越快,极限情况,R0，则 0,R，则,2.R
15、L电路的放电过程：,如图电路原处于稳态，t=0时K断开，分析电感放电过程中iL(t)和uL(t)的变化规律。,分析：t0时已达稳态，L中电流为I0=E/R0 t0时，电感以初始储能来维持电流iL(t)（放电）,换路后（t0），由KVL有：,即：,特征根：,故：,由初始条件：iL(0+)=iL(0-)=I0=E/R0(换路定理),（t0）,作 iL(t)和uL(t)波形如图（b）,可见iL(t)连续，uL(t)不连续,=L/R 也称为时间常数,时间常数与过渡过程长短的关系,极限情况：,R0，则,R，则 0 此时uL(0)（瞬间高压）,时间常数=RC或L/R，表征电路固有性质，反映过渡过程长短。,
16、以前例RL电路放电过程为例:,一般认为经过3-5 时间后瞬态过程已经结束。,练习：,如图，电路原处于稳态，t=0时K由1转向2，求t0时i(t)=?,二、一阶电路的零状态响应,1.RC电路的充电过程：,已知uc(0-)=0，t=0时刻K闭合，分析充电过程中i(t)和uc(t)。,（1）由KVL及VAR写电路方程（t0),标准形式：,一阶常系数非齐次方程,（2）解如上非齐次微分方程：,先求齐次通解uch，即相应齐次方程：,的解,显然：,再求特解ucp,（可设为与输入激励相同的形式，或用稳态解作为特解）,ucp=E,全解uc(t)=齐次通解uch(t)+任意特解ucp,（3）由初始条件定系数,uc
17、(0+)=uc(0-)=0 A=-E,（4）作波形曲线。,即：,2.RL电路的充电过程：,（1）对(b)图，t0时由KVL有：,初始条件 iL(0+)=iL(0-)=0 A=-E/R,（3）作波形曲线。,小结：,对于直流一阶电路，其响应一般都可表为如下形式：,零输入响应：,零状态响应：,三、一阶电路的全响应,已知uc(0-)=U0，t=0时刻K闭合，分析t0时uc(t)=?,分析：电路方程与零状态响应情况相同，仅初始条件不同。,标准形式：,由初始条件 uc(0+)=uc(0-)=U0 A+E=U0,得：A=-(E-U0),故全响应：,四、响应的分解,如前RC电路的全响应：,如图电路，uc(0-
18、)=-1V,K于t=0时刻闭合，求：,t0时uc(t)=?,例：,解：（1）t0时电路方程为：,代入R、C值有：,（形式与输入激励相似）,将特解代入式有：,B=2,代初值uc(0+)=uc(0-)=-1V，有：A=-3,齐次通解：,因输入函数为2e-2t，其指数因子-2 刚好为特征方程的单根，故特解应设为：,代入中：,得：B=2,代初值uc(0+)=uc(0-)=-1V，有：A=-1,5.4 直流一阶电路的三要素法,一、三要素法的推证,对直流一阶电路全解y(t)=齐次通解yh(t)+特解(稳态解）yp,令t=0+，则：,即：,故：,三要素：,初始值y(0+),终值y(),时间常数=RC或,二、
19、三要素法的应用,例：如图电路原处于稳态，t=0时刻K由a转向b，用三要素法求t0时i(t)及 iL(t)，并作出其波形。,解：,（1）求初始值iL(0+)和 i(0+),作0+等效图（b),1 i(0+)+2 i(0+)-(-1.2)=3,i(0+)=1/5 A,（2）求终值iL()和 i()（图c）,等效内阻，从动态元件两端看出去,（4）由,（5）波形（图e）,例：如图(a)电路，uc(0-)=2V，t=0时K闭合，试用三要素法求t0时uc(t)及i1(t)。,解：（1）求初始值uc(0+)及i1(0+),uc(0+)=uc(0-)=2V，作0+图(b)有：,6i1(0+)-2i1(0+)=
20、12,i1(0+)=3A,（2）求终值uc()及i1(),6i1()-2i1()=12,i1()=3A,uc()=-2 i1()=-6V,（3）求时间常数=R0C,设用外加电源法（图d）,U0=2I0-2i1,6i1=2i1 i1=0,U0=2I0,故：等效内阻R0=U0/I0=2,时间常数=R0C=21=2(s),（4）uc(t)=-6+2-(-6)e-t/2=-6+8e-t/2(V)t0,i1(t)=3+(3-3)e-t/2=3(A)t0,例：如图电路，K1、K2原处于断开状态，t=0时刻K1闭合，（1）求K1闭合后i1的变化规律。（2）若K1闭合1秒后K2也闭合，求i1、i2及i 的变化
21、规律。,分析：第一次换路后，是一阶电路。第二次换路后为二阶电路，但此二阶电路可看作两个独立的一阶电路，可借助一阶电路的三要素法求解。,（1）K1于t=0时刻 闭合，K2断开,解：,i1(0+)=i1(0-)=0,i1()=Us/(R1+R2)=6/(2+1)=2A(稳态值）,=（L1+L2）/（R1+R2）=（1+2）/（2+1）=1(s),（0t 1s）,（2）当t=1s时，K2也闭合,i1(1+)=i1(1-)=2(1-e-1)=1.264(A),i1()=Us/R1=6/2=3(A),时间常数1=L1/R1=1/2(s),i2(1+)=i2(1-)=i1(1-)=1.264(A),i2(
22、)=0(A),时间常数 2=L2/R2=2/1=2(s),三要素法推广,i(t)=i1(t)-i2(t),注：本例中i1(t)、i2(t)分别只有一个固有频率，但i(t)有两个固有频率（此二阶电路可看作两个独立的一阶电路）,i1,i2,如图电路原处于稳态，t=0时刻K闭合，求K闭合后电流iK=?,思考:,参考答案:,5.5 阶跃函数与阶跃响应,一、单位阶跃函数（unit step function）,t=0时刻不定义,显然：U(0-)=0 U(0+)=1,延时单位阶跃函数：,t=t0 时刻不定义,注：阶跃信号可用来表示特定时刻开始起作用的激励信号。,t=0时K1由1转向2，t=3s时K2由a转
23、向b,相当于一个2U(t)电压源和 一个5U(t-3)电流源从t=-时就接在电路中。,二、分段直流信号的阶跃函数表示,f1(t)=2U(t),-2U(t-2),f3(t)=-1+3U(t)-3U(t-2)+U(t-3),f2(t)=U(t-1)+U(t-2)-2U(t-3),三、阶跃响应及其应用,单位阶跃响应：电路在零状态条件下，由单位阶跃信 号U(t)作用下引起的响应。记为rU(t),单位阶跃响应rU(t),rU(t-t0),U(t-t0),K,K,例：求如图RL电路在矩形脉冲us(t)作用下的响应电流i(t)，并作其波形。,法一：分区间应用三要素法,=L/R=1/1=1(s),i(0-)=
24、0,i(0+)=i(0-)=0,0t t0时：,i稳态=1/R=1(A),故i(t)=1+(0-1)e-t=1-e-t(A)0t t0,t0 t 时是以i(t0)为初值的放电过程,t0,法二：利用阶跃响应,（1）电路的单位阶跃响应,rU(t)=,1-e-t t0,0 t0,=(1-e-t)U(t),（2）输入信号us(t)=U(t)-U(t-t0),U(t)rU(t),i(t)=rU(t)-rU(t-t0),-U(t-t0)-rU(t-t0),（3）故us(t)作用下零状态响应：,i(t)=rU(t)-rU(t-t0),t0,-rU(t-t0),i(t),注（1）注意各阶跃响应的时间区间。（2
25、）方法二只适合于零状态时，若有初始储能，总 响应应加上零输入响应。,5.6 正弦信号作用下的一阶电路,一、正弦信号作用下的一阶RC电路,已知us(t)=Umcos(t+u)uc(0-)=0，t=0时K闭合，求t0时uc(t)=?,电路方程：,即：,齐次通解：,特解形式设为：,ucp(t)=Acos(t+u)+Bsin(t+u),将特解代入方程并比较系数定A和B：,-RCA sin(t+u)+RCB cos(t+u)+Acos(t+u)+Bsin(t+u)=Um cos(t+u),特解也可设为：,ucp(t)=Ucm cos(t+u+u),其中：,代初值条件uc(0+)=uc(0-)=0得：,全
26、解,K=-Ucm cos(u+u),（1）稳态响应和暂态响应之和在t=0时满足初值条件uc(0)=0,（2）当 u+u=/2 时无暂态过程，电路直接进入稳态。,5.7 RC微分电路和积分电路,一、RC 微分电路(differentiating circuit),1.原理,如左图：分析u2u1关系,条件：选择R很小，故=RC很小，冲放电很快。,且uc远大于u2,由KVL：uc+u2=u1 有uc u1,（微分关系）,2.利用微分电路获得尖顶脉冲,如前微分电路，输入为矩形脉冲序列,条件：=RC很小，冲放电很快。,可以求得电路的单位阶跃响应：rU(t)=e-t/RC,=Ae-t/RCU(t)-Ae-
27、(t-T)/RCU(t-T)+Ae-(t-2T)/RCU(t-2T)-Ae-(t-3T)/RCU(t-3T),而 u1(t)=AU(t)-AU(t-T)+AU(t-2T)-AU(t-3T),故：u2(t)=ArU(t)-ArU(t-T)+ArU(t-2T)-ArU(t-3T),u2(t),时域看：突出输入信号中突变部分，抑制恒定部分。,频域看：是高通网络，通高频，阻低频。,二、积分电路,1.原理,条件：(1)与微分电路不同，选择RC都很大，则=RC很大，冲放电缓慢。,(2)输出取自电容电压,因R很大，使得uR远大于u2,而u1=uR+u2 故u1uR,（积分关系）,进入稳态,2.有始周期矩形脉
28、冲作用下的RC积分电路,“冲多放少”,“冲多少放多少”,u2,近似三角波,条件：T，冲放电缓慢，在脉冲作用周期T内，冲放电过程远未结束,RC积分电路的特点：,与微分电路相反，经积分后输入信号的突变消失。,从时域看：突出了输入信号的恒定部分，抑制突变部分,从频域看：是低通网络，通低频，阻高频。,5.8 二阶电路时域经典分析法,二阶电路方程的建立,例：如图电路,两个动态元件,写网孔电流方程：,-,-,由 得：,-,-,将 代入消去i1有：,二阶非齐次微分方程,一般形式：,当电路没有输入激励时有f(t)=0，方程变为齐次方程：,相应的解为零输入响应。,一、RLC串联电路的零输入响应,已知uc(0-)
29、=U0，iL(0-)=0，K于t=0时刻闭合，分析t0时放电过程中i(t)、uc(t),由KVL：uc=uR+uL（t0),即：,两边对t 微分：,整理为：,整理为：,特征方程：,其中：s特征根，又称为电路的固有频率。,根据 和 0 的相对大小不同，特征根s1,2不同，对应的解的形式不同，有三种情况：,过阻尼,临界阻尼,欠阻尼,由i(0+)=0得：,A1+A2=0,又由uL(0+)=uc(0+)-Ri(0+)=U0-R0=U0得：,将i(t)表达式代入并令t=0+有：,L(A1S1+A2S2)=U0,由联立得：,非振荡过程,电容一直放电（电容功率pc=-uc(t)i(t)0)，不能产生振荡。,
30、电流极大值时刻在t=tm处。,s1=s2=-,可定得系数：,故：,波形与过阻尼情况相似，uc单调衰减，无振荡（处于振荡与非振荡的临界状态）。,（共轭复根）,减幅振荡,物理解释：,R较小，耗能较少，电感可反向对电容进行充电（pc有正有负），将所储存的磁场能重新转化为电容的电场能，如此反复，形成振荡，直到能量全部被电阻消耗掉。,特例：当R=0时，=R/2L=0,无损耗，响应为等幅振荡。S1,2=j0(虚数），称为LC自由振荡（正弦波发生器）,例：如图RLC电路，R=4,L=1H,uc(0)=4V,i(0)=2A,t=0时刻K闭合，试分别计算（1）C=1/20F（2）C=1/4F（3）C=1/3F
31、时电流i(t)。,解：,电路方程为：,特征方程特征根：,初始条件 i(0)=2A K1=2（1）,uc(0+)=4V uL(0+)=uc(0+)-R i(0+)=-4V,故-2K1+4K2=-4（2）,由(1)(2)联立得：K1=2 K2=0,由初始条件 i(0)=2A,可得：A=2 B=0,由初始条件 i(0)=2A,A1=A2=1,二、RLC串联电路的零状态响应,如图RLC 零状态电路，t=0时K闭合，分析t0时uc(t)=?,由KVL及VAR：,整理得：,全解,（用稳态解作特解）,初始条件 uc(0+)=0 A1+A2+Us=0(1),i(0+)=0,A1S1+A2S2=0(2),（设s1,2为相异单根）,由(1)(2)有：,故：,波形与过阻尼时相似，也是非振荡充电。,uL,iL,uc,ic,1,1A,1V,uL,iL,uc,ic,1,1A,1V,
