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1、（三）,1.3.1单调性与最大(小)值,【教学重点】,【教学目标】,【教学难点】,课程目标,理解增函数、减函数的概念,掌握判断某些函数增减性的方法,步渗透数形结合的数学方法,函数单调性概念的理解及应用,函数单调性的判定及证明,教法:自学辅导法、讨论法、讲授法,学法:归纳讨论练习,【教学方法】,【教学手段】,多媒体电脑与投影仪,判断函数 在区间(-1,1)上的单调性.,解:设,则 f(x1)f(x2),1x1x21,1+x1x20,x2x10,f(x1)f(x2)0.,即 f(x1)f(x2).,故此函数在(-1,1)上是减函数.,课前热身,利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法,1.利用二
2、次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值,2.利用图象求函数的最大(小)值,3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值,如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b)；,如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；,1.增函数与减函数,一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数,2.单调性、单调区间,如果函数y=f(x)在某个
3、区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.,复习回顾,(1)任取x1,x2D,且x1x2；(2)作差f(x1)-f(x2);(3)变形;(4)判号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负)；(5)定论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性),3.利用单调性定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：,4.常见函数的单调性：,在 上是增函数在 上是减函数,在 上是增函数在 上是减函数,在(-,+)上是减函数,在(-,+)上是增函数,一次函数y=kx+b(k0),1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最 大
4、(小)值,2.利用图象求函数的最大(小)值,3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值,如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递增,则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b);,如果函数y=f(x)在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).,利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法,1.求函数的单调区间;,2.判断函数的单调性(证明);,5.求函数的最值或值域,3.比较函数的大小,函数单调性的应用,4.求参数的取值范围,【例1】函数 y=x2-2|x|-3 的单调递增区间是_;,-1,0,1,+),-2,1,-1
5、,一、求函数的单调区间,【1】求函数 y=|x+1|1x|的单调区间.,解:由 y=|x+1|1x|,知,故函数的增区间为1,1.,练一练,【2】画出函数y=|x2-2x3|的图象.,解:当 x2-2x-30,即 x 1 或 x3 时,y=x2-2x3,=(x-1)24.,当 x2-2x30,即 1x3时,y=(x2-2x-3),=(x-1)2+4.,【3】求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值.,解:(1)当x0时,y=-2(x-1)+3x=x+2;,(2)当0 x1时,y=-2(x-1)-3x=-5x+2;,(3)当x1时,y=2(x-1)+3x=-x-2.,备课资料,1.函数 的单调减
6、区间为_.,2.函数y=|2x-1|的单调增区间是_.,巩固练习,【例2】证明函数 在,上是减函数.,二、判断(证明)函数的单调性,证明：任取,因此 在 上是减函数.,【例2】证明函数 在,二、判断(证明)函数的单调性,上是减函数.,另解:,向上平移,向左平移,2 个单位,3个单位,所以函数f(x)的递减区间是,练一练,【1】写出函数 的单调区间.,例3.已知函数 对任意实数t都有 比较f(1),f(2),f(3)的大小.,三、利用单调性比较函数值的大小,【1】已知函数f(x)在(0,+)上是减函数,则 的大小关系为_.,练一练,1.设函数y=x2+2(a-1)x+2在区间2,+)上是增函数,
7、求实数a的取值范围.,解:函数y=x2+2(a-1)x+2的对称轴方程为x=1-a,函数的单调增区间是1-a,+),2,+)是1-a,+)的一个子集,1-a2即a-1.,即所求的实数取值范围是a-1.,图象演示,由二次函数性质知,四、利用函数单调性求参数的取值范围,【1】函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-,6内递减,则a的取值范围是()A.a3 B.a3 C.a-3 D.a-3,D,【2】在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-,-2上递减,在-2,+)上递增,则f(x)在1,2上的值域_.,21,39,练一练,【3】已知f(x)是R上的增函数,若a+b0,则有f(a)+f(b)f(
8、-a)+f(-b).,证明:由a+b0,得a-b,b-a.,又因为f(x)是R上的增函数,f(a)f(-b),f(b)f(-a),+得f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).,练一练,分析:设,则,确定 正负号的关键,是确定,的正负号.,由于x1,x2在同一区间内,要使 则需,要使 则需,例5.求函数 的最大值.,五、求函数的最大(小)值或值域,例5.求函数 的最大值.,解:任取x1,x2,x1,x22,4,且x1 x2,当 时,所以函数f(x)在2,4上是减函数.,同理函数f(x)在4,10上是增函数.,五、求函数的最大(小)值或值域,解：函数,在2,4上是减函数.,所以f(x)在2,4上
9、有最大值,函数,在4,10上是增函数.,所以f(x)在4,10上有最大值,所以函数f(x)在2,10上的最大值是,几何画板,例6.函数f(x)是定义在(0,+)上的递减函数,且f(x)f(2x-3),求x的取值范围.,解:函数f(x)在(0,+)上为减函数,x的取值范围是.,解之,得,模拟试验,六、利用函数单调性解不等式,【1】已知函数y=f(x)在定义域R上是单调减函数,且f(a+1)f(3-a),求实数a 的取值范围,【2】函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,若f(2-a)f(3-a),求实数a 的取值范围,练一练,【例3】求f(x)=x2-2ax+2在 2,4 上的最小值.,
10、解:f(x)=(x-a)2+2-a 2,当a2时,当2a4 时，,当a4时,f(x)min=f(2)=64a;,f(x)在 2,4 上是增函数,f(x)min=f(a)=2a2.,f(x)在2,4上是减函数.,f(x)min=f(4)=188a.,几何画板,七、有关最值讨论题,求最大值：,当 a 3 时，,当 a 3 时，,f(x)max=,f(x)max=f(4)=18 8a,f(x)max=f(2)=6 4a,例6.已知f(x)=x24x4,xt,t+1(tR)，求 f(x)的最小值g(t)的解析式.,解:f(x)=(x2)28,(1)当2t,t+2,即1t2时，,g(t)=f(2)=8;
11、,(2)当 t 2 时，,g(t)=f(t)=t24t4;,(3)当t+12,即t1时,f(x)在t,t+1上是减函数,g(t)=f(t+1)=t2-2t-7.,综上所述:g(t)=,f(x)在t,t+1上是增函数，,教材P11 练习T4.,教材P12 A组T7,9,10.,作业布置,再见,2007年9月13日,山东省临沂一中李福国,课堂小结,1.函数单调性的定义：,图象法,定义法,2.函数单调性的判定：,3.函数单调性的应用：,(1)设元:对任意x1,x2D,且x1x2(2)作差:f(x1)-f(x2)(3)变形(4)判号(5)定论,*求函数 的单调区间.,若函数f(x),g(x)在给定的区
12、间I上具有单调性,(1)k0时,函数y=f(x)与y=kf(x)+b具有相同的单调性；(2)若f(x)恒为正或恒为负时,函数f(x)与1/f(x)具有相反的单调性.(3)若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.(4)若f(x)0,g(x)0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)g(x)也是增(减)函数;若f(x)0,g(x)0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)g(x)是减(增)函数.,单调性性质规律总结:,(4)奇函数在对称的区间上有相同的单调性,偶函数在对称的区间上有相反的单调性.(5)复合函数fg(x)的单调性由f(x)和
13、g(x)的单调性共同决定(同则增异则减).,单调性性质规律总结:,复合函数：,y=fg(x),令 u=g(x),则 y=f(u),内函数,外函数,y=fg(x),原函数,以x为自变量,以u为自变量,以x为自变量,(5)复合函数的单调性,复合函数单调性结论：,当内外函数在各自定义域内同增同减时,原函数增;,当内外函数在各自定义域内一增一减时,原函数减.,(1)f(x)是a,b上增函数,若存在x1,x2a,b且x1f(x2)f(x)是a,b上减函数.,（正确）,（错误）,（错误）,（错误）,【2】判断下列两个命题的正误：,练一练,练习：,注意：,在原函数定义域内讨论函数的单调性,补充练习：,(1)
14、f(x)是a,b上增函数,若存在x1,x2a,b且x1f(x2)f(x)是a,b上减函数.,（正确）,（错误）,（错误）,（错误）,【1】判断下列说法是否正确.,练一练,定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1),则函数f(x)是R上的增函数().,定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1),则函数f(x)在R上不是减函数().,函数y=f(x)在区间I上对于任意的x1,x2满足,则f(x)在区间I上为单调增函数().,X,练一练,【2】判断下列说法是否正确.,定义在R上的函数f(x)在区间(-,0上是增函数,在区间(0,+)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数().,定义在R上的函
15、数f(x)在区间(-,0上是增函数,在区间0,+)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数().,y,X,函数y=f(x)在区间I上对于任意的x1,x2,且x1x2,满足,则f(x)在区间I上为单调减函数().,X,复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下：,四、复合函数的单调性,五、函数单调性的判定方法,1.定义法:,主要适用于抽象函数或已知函数.,2.导数法:,适用于具体函数.,3.图像法:,4.复合函数单调性的判定:,5.和函数单调性的判定:,9.已知函数 f(x)的定义域为(-,0)(0,+),且满足条件:f(xy)=f(x)
16、+f(y),f(2)=1,当 x1 时,f(x)0.(1)求证:f(x)为偶函数；(2)讨论函数的单调性；(3)求不等式 f(x)+f(x-3)2的解集.,(1)证:在中令 x=y=1,得 f(1)=f(1)+f(1)f(1)=0.,令 x=y=-1,得 f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0.,再令 y=-1,得 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x).,f(x)为偶函数.,先讨论 f(x)在(0,+)上的单调性,任取x1,x2,设x2x10,f(x2)f(x1).,f(x)在(0,+)上是增函数,由(1)知,f(x)在(-,0)上是减函数.,偶函数图象关于 y 轴对称,(3)解:fx(x-3)=f(x)+f(x-3)2,由、得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4),1)若 x(x-3)0,f(x)在(0,+)上为增函数,由 fx(x-3)f(4)得:,2)若 x(x-3)0,f(x)在(-,0)上为减函数,由 fx(x-3)f(-4)得:,原不等式的解集为-1,0)(0,3)(3,4.,注 抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题,其基本方法是变量代换、换元等,应熟练掌握它们的这些特点.,法二 原不等式等价于 f|x(x-3)|f(4)(x0,x-30),由 f(x)在(0,+)上为增函数得:|x(x-3)|4.再进一步求得解集.,
