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1、2 复合函数微分法,凡是学过一些微积分的人,没有一个会对复合函数微分法的重要性产生怀疑.可以毫不夸张地说,谁不懂得复合微分法,谁就会在计算导数或偏导数时寸步难行.,二、复合函数的全微分,返回,一、复合函数的求导法则,一、复合函数的求导法则,设函数,(1),(2),则可构成复合函数:,(3),其中(1)为内函数,(2)为外函数,(x,y)为中间变量,(s,t)为自变量.,下面将讨论复合函数 F 的可微性,并导出 F 的偏导,数与全微分的复合运算法则.,关于 s 与 t 的偏导数分别为,(4),是,(6),(5),(7),现把(5),(6)两式代入(7)式，得到,整理后又得,其中,(8),并求得
2、z 关于 s 和 t 的偏导数公式(4),公式(4)也称为链式法则,能轻易省略的,否则上述复合求导公式就不一定成,立例如,为内函数，则得到以 t 为自变量的复合函数,这说明：在使用链式法则时，必须注意外函数可微,这个条件.,解 所讨论的复合函数以(u,v)为中间变量,(x,y)为,自变量,并满足定理 17.5 的条件.故由,根据公式(4)得到,例2,因此有,于是,解 复合后仅是自变量 t 的一元函数于是,例3,的复合函数对 t 求导数(这种导数又称为“全导数”);,求偏导数二者所用的符号必须有所区别,例4 用多元复合微分法计算下列一元函数的导数:,则有,由此可见，以前用“对数求导法”求一元函数
3、导数,的问题,如今可用多元复合函数的链式法则来计算.,解 令,由于,而实用的写法(省去了引入中间变量):,助链式法则而求得的;上述过程还有一种比较简洁,为此设,二、复合函数的全微分,分为,(11),可微的,其全微分为,将(13)式代入(12)式,得到与(11)式完全相同的结,果,这就是多元函数的一阶(全)微分形式不变性.,利用微分形式不变性,能更有条理地计算复合函数,的全微分,因此,并由此得到,复习思考题,1.在一元函数章节里，利用对数求导法曾得到过一,个结果:,数与指数函数求导数而得到的.有人认为这是偶然,的巧合，也有人认为这是必然的结果试问哪一,种看法是正确的？请说出依据,的复合函数.考察下面计算复合函数偏导数的一种,写法:,试问这个写法有何不妥？怎样纠正？,
