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1、第六章 定积分习题课,1定积分的定义：,定积分定义的四要素：分割；近似；求和；取极限,2定积分的几何意义：,用图表示:,一、定积分的概念与性质,曲边梯形的面积,3可积的充分条件,若 在区间 上连续，则 在 上可积.,若 在区间 上有界，且只有限个间断点，则 在 上可积.,4定积分的性质,反号性：,与积分变量无关性：,线性性质：,区间可加性:,区间长：,保号性：如果在区间 上,，则,单调性：如果在区间 上,则,估值定理：设 和 分别是函数 在区间 上的 最大值和最小值，则,奇偶对称性：若 在 上连续，则,二、积分上限函数与牛顿莱布尼兹公式,1积分上限函数：,是奇函数,是偶函数,0，,设函数 在区
2、间 上连续，则称,定积分中值定理：如果函数 在闭区间 上连续,则至少存在一点,使下式成立：,(1),(2),(3),3牛顿莱布尼兹公式：若函数 为连续函数 在区间 上的个原函数，则,2积分上限函数的微分,三、定积分的计算方法,求定积分的总体原则：先求被积函数 的原函数,然后利用牛顿莱布尼兹公式计算，即,1换元积分法,（1）凑微分法：,（2）变量置换法：函数 满足条件：,2分部积分法：,四、反常积分,1无穷限的反常积分,2无界函数的反常积分,设 为 的瑕点,则,设 为 的瑕点,则,设 为 的瑕点，则有,五、典型例题,解：由于 在 上连续,且 是 在 上的一个原函数，故,【例1】设 在 上有连续导
3、数，且 是 在 上的一个原函数,求,【例2】求定积分,解：,注：当定积分的被积函数中包含绝对值符号时，必须设法将其去掉，并且要特别注意被积函数的符号,【例3】设,求,解:,【例4】设 求,分析：利用变量代换将 在 上的定积分 化为 在 上的定积分再计算。,解:设,则,【例5】设 为连续函数，求,解:令,则,当 时,当 时,则,故,【例7】求定积分,解:设,则,【例8】计算定积分,解:令 则,当 时,当 时,【例9】计算定积分,解:,【例10】求定积分,分析：由于积分区间为对称区间，可考虑被积函数是否具有奇偶性或部分具有奇偶性,解:原式,【例11】设 求,解：因为,所以,【例17】求反常积分,解
4、：,【例18】求积分,分析：被积函数 在积分区间 上不是连续的，,解：,因为,故该积分发散,注：由于定积分与瑕积分的表达式没有区别，在计算积分时 要特别注意。,错误在于将反常积分误认为定积分。,在应用牛顿莱布尼兹公式计算定积分时，必须注意其使用条件，即被积函数在积分区间内必须连续,常见的错误做法：,定积分应用,一、定积分应用的类型,几何应用,平面图形的面积,特殊立体的体积,旋转体的体积,平行截面面积为已知立体的体积,二、构造微元的基本思想及解题步骤,1.构造微元的基本思想,元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须是无穷小量之间的代
5、替。将局部 上所对应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成定积分,无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。,2.在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：,选取适当的坐标系；,确定积分变量和变化范围；,在 上求出微元解析式（积分式）。,把所求的量表示成定积分,三、典型例题,1.几何应用,定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的体积。解决这些问题的关键是确定面积元素、体积元素。,【例1】求由 所围成图形的面积。,分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形如图所示。如果取 为积分变量,则,解：(1)确定积分变量和积分区间：,的交点为 和,取 为积分变量,则,由于曲线 和,（
6、2）求微元：任取,如果将图形上方直线的纵坐标记为,将图形下方抛物线的纵坐标记为,那么，就是区间 所对应的矩形的面积。因此,（3）求定积分：所求的几何图形的面积表示为,计算上面的积分得：,【例5】设由曲线，及 围成,平面图形 绕 轴,轴旋转而成的旋转体的体积。,解:(一)求 绕轴旋转而成的旋转体的体积,（1）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图,（2）求微元：对,取 为积分变量,则,（3）求定积分：绕 轴旋转而成的旋转体的体积表示为,计算积分得：,（1）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图,取 为积分变量,则,(二)求绕 轴旋转而成的旋转体的体积,（2）求微元：对,旋转体的体积元素,是 对应的矩形绕 轴所得的旋转体体积,即,（3）求定积分：绕 轴所得的旋转体的体积表示为,计算积分得:,【例7】计算底面是半径为2 的圆，而垂直于底面上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。,建立如图所示的坐标系，,解:(1)确定积分变量和积分区间：,则底圆方程为,取 为积分变量,所以,（2）求微元：因为过点 的截面为等边三角形（如图），其边长为 高为,所以截面积为,因此,对 所对应的体积元素为,（3）求定积分：所求立体的体积为,
