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1、2023/9/25,1,第二章 导数与微分,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),英国数学家 Newton,2023/9/25,2,一、问题的提出,六、小结与思考判断题,二、导数的定义,三、由定义求导数举例,四、导数的意义,五、可导与连续的关系,第二章,第一节 导数的基本概念,2023/9/25,3,一、问题的提出,1、直线运动的速度问题,如图,取极限得,瞬时速度,2023/9/25,4,2、切线问题,切线：割线的极限,播放,M,N,T,割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT
2、就称为曲线C在点M处的切线.,2023/9/25,5,2023/9/25,6,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,2023/9/25,7,二、导数的定义,定义1.设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义,2023/9/25,8,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,若上述极限不存在,在点 不可导.
3、,若,也称,在,就说函数,的导数为无穷大.,2023/9/25,9,右导数,3、单侧导数,左导数,判断函数在某一点可导的充分必要条件：,注意：,2023/9/25,10,例,解,2023/9/25,11,若函数在开区间 I 内每点都可导,记作:,注意:,就称函数在 I 内可导.,4、导函数,2023/9/25,12,三、由定义求导数举例,步骤:,例1.,解,2023/9/25,13,例2.,解,更一般地,例如,2023/9/25,14,例3.求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,2023/9/25,15,例4.,解,2023/9/25,16,例5.,解,2023/9/25,17,四、导数
4、的意义,1、几何意义,切线方程为,法线方程为,若,切线与 x 轴垂直.,2023/9/25,18,2023/9/25,19,例6.,解,由导数几何意义,切线斜率为,切线方程：,法线方程：,2023/9/25,20,2、简单的物理意义,1）变速直线运动中路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,2）交流电路中电量对时间的导数为电流强度.,3）非均匀物体中质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.,2023/9/25,21,五、可导与连续的关系,结论：可导的函数一定是连续的。,证,2023/9/25,22,解,注意:反之不成立.即连续不一定可导。如,2023/9/25,23,内容小结,1.
5、导数的实质:,3.导数的几何意义:,4.可导必连续,但连续不一定可导;,5.已学求导公式:,6.判断可导性,不连续,一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,2023/9/25,24,1、初等函数在其定义区间内必可导？,2、初等函数的导数仍是初等函数？,思考与练习,作业 P85 2,5,6,9,13,14(2),16,18,2023/9/25,25,4.设,存在,则,5.已知,则,6.若,时,恒有,问,是否在,可导?,解:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导,且,2023/9/25,26,7.设,问 a 取何值时,在,都存在,并求出,解:,故
6、,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x=0 连续.,2023/9/25,27,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2023/9/25,28,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2023/9/25,29,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2023/9/25,30,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2023/9/25,31,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2023/9/25,32,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2023/9/25,33,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2023/9/25,34,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2023/9/25,35,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2023/9/25,36,2.切线问题,切线：割线的极限,结束,M,T,N,割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,
