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1、第七讲 层次分析法的应用,基础教研部：夏冰,数学建模,哈尔滨金融学院,一、层次分析法基本思想,数学建模,哈尔滨金融学院,二、层次分析法的基本步骤,三、层次分析法的广泛应用,层次分析法,一、层次分析法基本思想,分解,建立,确定,计算,判断,实际问题,层次结构,多个因素,诸因素的相 对重要性,权向量,综合决策,数学建模,哈尔滨金融学院,1.建立层次结构模型 该结构图包括目标层，准则层，方案层。,层次分析法的基本步骤归纳如下,3.计算单排序权向量并做一致性检验,2.构造成对比较矩阵,从第二层开始用成对比较矩阵和19尺度。,对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性
2、指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。,哈尔滨金融学院,数学建模,计算最下层对最上层总排序的权向量。,4.计算总排序权向量并做一致性检验,进行检验，若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率 较大的成对比较矩阵。,利用总排序一致性比率,数学建模,哈尔滨金融学院,例1 评价影视作品,在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：x1表示教育性x2表示艺术性x3表示娱乐性经专家赋值：x1/x2=1 x1/x3=1/5 x2/x3=1/3,数学建模,哈尔滨金融学院,于是得到逆对称矩
3、阵,数学建模,哈尔滨金融学院,数学建模,哈尔滨金融学院,由于e4=e3,迭代经过4次中止，权系数是w1=0.156,w2=0.185,w3=0.659 相应的综合评价公式是Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3 如果用同样的分制来给作品的三个指标评分，由以上公式算出的便是作品综合评分y。,数学建模,哈尔滨金融学院,目标层,O(选择旅游地),准则层,方案层,例2 选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,数学建模,哈尔滨金融学院,“选择旅游地”的基本步骤：,将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示
4、。,通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。,将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。,数学建模,哈尔滨金融学院,2 4 6 8,Saaty等人提出19尺度aij 取值1,2,9及其互反数1,1/2,1/9,心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个,数学建模,哈尔滨金融学院,构造成对比较阵,构造成对比较阵,比较各准则C1,C2,Cn对目标O的重要性，得,A成对比较阵,A是正互反阵,数学建模,哈尔滨金融学院,成对比较的不一致情况,允许不一致，但要确定不一致的允许范围,数学建模,考察完全一致的情况,数学建模,哈尔滨金融学院,A的秩为1，A的唯一非零特征根为n,A的任一列
5、向量是对应于n 的特征向量,A的归一化特征向量可作为权向量,一致阵性质：,数学建模,哈尔滨金融学院,一致性检验,（对A确定不一致的允许范围）,已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n,可证：n 阶正互反阵最大特征根 n,且=n时为一致阵,定义一致性指标:,CI 越大，不一致越严重。,为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI随机模拟得到aij,形成A，计算CI 即得RI。,数学建模,哈尔滨金融学院,定义一致性比率,当CR0.1时，通过一致性检验。,Saaty的结果如下,数学建模,哈尔滨金融学院,CR=CI/RI,“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验,准则层对目标的成对比较阵,最大特
6、征根=5.073,权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,一致性指标,随机一致性指标 RI=1.12(查表),一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1,通过一致性检验,数学建模,哈尔滨金融学院,组合权向量,（2）求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量,方案层对C1(景色)的成对比较阵,方案层对C2(费用)的成对比较阵,数学建模,哈尔滨金融学院,（1）记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为,同理得,数学建模,哈尔滨金融学院,最大特征根 1，2，n,权向量 w1(3)，w2(3)，wn(3),权向量矩阵,数学建模,哈尔滨金
7、融学院,（3）组合权向量,数学建模,（4）组合一致性检验,数学建模,哈尔滨金融学院,组合权向量,RI=0.58(n=3),CIk 均可通过一致性检验,w(2),方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+=0.300,方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T,数学建模,哈尔滨金融学院,数学建模,哈尔滨金融学院,数学建模,哈尔滨金融学院,三.层次分析法的广泛应用,应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。,处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。,建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。,构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。,数学建模,哈尔滨金融学院,练习：选住房,某人需要购买一套住房，他考虑的主要因素有：价格适中，上下班比较方便，小区对应的中小学较好，居住环境相对较好，经房地产中介商介绍，他初步选择了甲、乙、丙三套住房，情况如表所示：,数学建模,哈尔滨金融学院,我曾听到有人说我是数学的反对者，是数学的敌人，但没有人比我更尊重数学，因为它完成了我不曾得到其成就的业绩。哥德,数学建模,哈尔滨金融学院,
