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1、1、场函数的三种基本微分运算,标量场的梯度f，矢量场的散度F 和F 旋度简称“三度”运算。,2、场函数的二阶运算,（5）矢量场旋度的旋度(F),（1）标量场梯度的散度 f,（2）标量场梯度的旋度 f,（3）矢量场散度的梯度(F),（4）矢量场旋度的散度(F),1.5 场函数的高阶微分运算,两个重要的恒等式,3、场函数的拉普拉斯运算,所以有拉普拉斯算符,在直角坐标系中,标量场,1.5 场函数的高阶微分运算,因为,所以,2作用于矢量场将得到一个新的矢量场,算符 2 作用于矢量场的结果将得到一个新的矢量场。,在直角坐标系中,1.5 场函数的高阶微分运算,4、两个与算符 2 有关的恒等式,相对坐标标量
2、函数,相对位置矢量 R 及其模 R,因为,1.5 场函数的高阶微分运算,例 3 计算,解,1.5 场函数的高阶微分运算,1.5 场函数的高阶微分运算,作业：1.13（1）,1、高斯散度定理（Gauss）,证明：,上式可写成,1.6 矢量场的积分定理,在闭面S上及S所包围的区域V内，只要矢量场F(r)有一阶连续偏导数，则F(r)在S上的闭合面积分等于它的散度在V内的体积分,该公式表明了区域V 中场F与边界S上的场F 之间的关系。,矢量函数的面积分与体积分的互换。,1.6 矢量场的积分定理,2、斯托克斯定理(Stockes),斯托克斯定理：矢量F(r)沿任一闭合路径l的环量，等于F(r)的旋度在以该闭合路径界为边界的任一曲面S上的通量,取 的极限，可得,证明：,取 的极限，可得,上式可写成,1.6 矢量场的积分定理,矢量函数的线积分与面积分的互换。,该公式表明了区域 S 中场F 与边界 l 上的场F 之间的关系,在电磁场理论中，Gauss 定理和 Stockes 定理是两个非常重要的公式。,1.6 矢量场的积分定理,3、格林公式,设,应用高斯定理,格林第一公式,（1）,1.6 矢量场的积分定理,将 和 的位置交换，得,（2）,（1）式与（2）式相减，即得格林第二公式,1.6 矢量场的积分定理,
