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1、第2章 简单随机抽样（SRS）,2.1 定义及其抽选方法2.2 简单估计量及其性质2.3 样本量的确定2.4 设计效应2.5 逆抽样,Simple Random Sampling(SRS),抽样方案设计,第一、确定抽样调查的目的、任务和要求；第二、确定调查对象的范围和抽样单位；第三、确定抽取样本方法；第四、对主要抽样指针的精度提出要求；确定必 要的样本数；第五、确定总体目标量的估算方法；第六、制订实施总体方案的办法和步骤。,2.1定义与符号,简单随机抽样也称为单纯随机抽样。从含有 N 个单元的总体中抽取 n 个单元组成样本，如果抽样是不放回的，则所有可能的样本有 个，若每个样本被抽中的概率相同
2、，都为，这种抽样方法就是简单随机抽样。具体抽样时，通常是逐个抽取样本单元，直到抽满n个单元为止。,有限,放回简单随机抽样不放回简单随机抽样,放回简单随机抽样(SRS with replacement)当从总体N个抽样单元中抽取n个抽样单元时，如果依次抽取单元时，不管以前是否被抽中过，每次都从N个抽样单元中随机抽取，这时，所有可能的样本为 个(考虑样本单元的顺序),每个样本被抽中的概率为放回简单随机抽样在每次抽取样本单元时，都将前一次抽取的样本单元放回总体，因此，总体的结构不变，抽样是相互独立进行的，这一点是它与不放回简单随机抽样的主要不同之处。放回简单随机抽样的样本量不受总体大小的限制，可以是
3、任意的。,简单随机抽样的抽取原则：（1）按随机原则取样；（2）每个抽样单元被抽中的概率都是已知的或事先确定的；（3）每个抽样单元被抽中的概率都是相等的。,【例2.1】,设总体有5个单元（1、2、3、4、5），按放回简单随机抽样的方式抽取2个单元，则所有可能的样本为25个（考虑样本单元的顺序）：,(2)不放回简单随机抽样(SRS without replacement),当从总体N个抽样单元中依次抽取n个抽样单元时，每个被抽中的单元不再放回总体，而是从总体剩下的单元中进行抽样。不放回简单随机抽样的样本量要受总体大小的限制。在实际工作中，更多的采用不放回简单随机抽样。,【例2.2】,设总体有5个单
4、元（1、2、3、4、5），按不放回简单随机抽样的方式抽取2个单元，则所有可能的样本为10个：,符号,大写符号表示总体的标志值，用小写符号表示样本的标志值,符号,大写符号表示总体的标志值，用小写符号表示样本的标志值,总体指标值上面带符号“”的表示由样本得到的总体指标的估计。称 为抽样比，记为f。估计量的方差用大写的V表示,对 的样本估计，不用 而用 表示。,二、抽选方法,1抽签法2随机数法随机数表、随机数骰子、摇奖机、计算机产生的伪随机数 随机数表法：N=327 n5讨论：(1)总体编号为135，在0099中产生随机数，若=00或35，则抛弃重抽。(2)总体编号为135，在0099中产生随机数，
5、以除以35，余数作为被抽中的数，如果余数为0，则被抽中的数为35。,三、地位与作用,优点简单直观理论基础缺点N很大时难以获得抽样框样本分散不易实施，调查费用高很少单独使用，一般结合其他方法使用没有其他信息时使用多变量复杂数据分析,2.2 简单估计量及其性质,判断下面要估计的总体目标量分别属于什么类型？调查城市居民家庭平均用电量。估计湖中鱼的数量。测试日光灯的寿命。估计居民家庭用于做饭菜及饮用的用水量占家庭总用水量的比重。估计婴儿出生性别比。检测食盐中碘含量。,一、对总体均值的估计,以样本均值作为总体均值的估计性质1：对于简单随机抽样，是 的无偏估计。,例设总体为0，1，3，5，6，计算总体均值
6、=3、总体方差=5.2和=6.5；给出全部 的样本，并验证 及。,样本编号,单元1,单元2,样本均值,-,样本方差,证明 性质1,对于固定的有限总体，估计量的期望是对所有可能样本求平均得到的，因此总体中每个特定的单元 在不同的样本中出现的次数。,证明 性质1（对称性论证法）,由于每个单元出现在总体所有可能样本中的次数相同，因此 一定是 的倍数，且这个倍数就是，,性质2：,对于有限总体的方差定义：性质2：对于简单随机抽样，的方差式中：为抽样比，为有限总体校正系数。,证明性质2（对称论证法）：,中的求和是对 项的，中的求和是对 项的,每个特定单位被选入样本的概率：=P（i）=故其定义为：*不放回抽
7、样*每个样本被抽中的概率为*每个单位被选入样本的概率,利用无限总体理论,Mean=,随机变量,证明性质2,简单随机抽样下，简单估计量估计精度影响因素：,估计量的方差 是衡量估计量精度的度量。影响估计量方差的因素主要是样本量n，总体大小N和总体方差。通常N很大，当f0.05时，可将 近似取为1。总体方差是我们无法改变的；因此，在简单随机抽样的条件下，只有通过加大样本量来提高估计量的精度。,性质3：的样本无偏估计为：,证明:,大样本下，抽样调查估计量渐进正态,【例2.3】,我们从某个=100的总体中抽出一个大小为=10的简单随机样本，要估计总体平均水平并给出置信度为95%的区间估计。,由置信度95
8、%对应的，因此，可以以95%的把握说总体平均水平大约在 之间，即2.4295和7.5705之间。,有放回简单随机抽样,二、对总体总量的估计,【例2.4】续例2.3。估计总体总量，并给出在置信度95%的条件下，估计的极限相对误差。,在置信度95%下，的极限相对误差为：,三、对总体比例的估计,某一类特征的单元占总体单元数中的比例P.将总体单元按是否具有这种特征划分为两类，设总体中有个单元具有A这个特征，如果对每个单元都定义指标值,总体方差：,估计量,性质5：对于简单随机抽样，是 P 的无偏估计。的方差为：,证明,【例2.5】,某超市新开张一段时间之后，为改进销售服务环境，欲调查附近几个小区居民到该
9、超市购物的满意度，该超市与附近几个小区的居委会取得联系，在总体中按简单随机抽样抽取了一个大小为=200人的样本，调查发现对该超市购物环境表示满意或基本满意的居民有130位，要估计对该超市购物环境持肯定态度居民的比例，并在置信度95%下，给出估计的近似置信区间、极限绝对误差。假定这时的抽样比可以忽略。,95%近似置信区间为 58.37%，71.63%,2.3 样本量的确定,费用 总费用 固定费用 可变费用,设计费分析费办公费管理费场租费等,访问员费交通费礼品费电话费等,STEPS,所需要的精度找出样本量与精度之间的关系估计所需的数值，求解 n如超出预算，调整精度值重新计算,精度margin of
10、 error,对精度的要求通常以允许最大绝对误差（绝对误差限）或允许最大相对误差（相对误差限）来表示。,样本量足够大时，可用正态分布近似,变异系数,Sample Size n0为重复抽样条件下的样本量,当N很大时，0，n n0，wr与wor几乎没有区别。,总体参数为P的情形,f0.05,总体方差的估计,根据预调查数据或以前文献资料根据数据的分布粗略估算S,例如全距/4，全距/6对于比例估计，如果P在0.5附近（），可根据PQ在P=0.5时达到极大值来对样本量进行计算.,如果时间允许，且总体在时间上变化不快，调查可以分为两步，首先确定一个可以承受的样本量，调查后对估计精度进行计算，如果精度达到要
11、求，则不再进行下一步，否则，计算为达到精度要求所需的样本量，再调查补充样本通过定性分析,最好是对总体变异系数进行分析并估计，因为变异系数通常变化不大.,样本量设计中的误区 1.估计精度越高越好吗？简单随机抽样估计比例P的样本量与误差（当P=0.5时）样本量 误差d 50 0.14 100 0.10 500 0.045 1000 0.032 10000 0.0098 对精度要求的判断十分重要。为得到最小误差而选择最大样本量不是好的选择。,2.样本量与总体规模N有关吗？按照总体比例确定样本量合适吗？例：简单随机抽样估计P，置信度95%，允许误差5%，在P=0.5条件下 总体规模（N）所需样本量（n
12、）50 44 100 80 500 222 1000 286 5000 370 10000 385 100000 398 1000000 400 10000000 400,抽样调查中的样本量,由此可知，在精度要求相同条件下，在北京市进行一项调查和在全国进行一项调查，样本量的差别并不大。总体规模越大，进行抽样调查的效率越高。若分类、分区、分层分别进行估计，如何处理？对于多项目，如何处理？,其他影响因素,1.所研究问题目标量的个数2.调查表的回收率 例如回收率估计为80%，则应接触的样本量为计算出所需样本量的1.25倍；3.非抽样误差4.资源限制5.有效样本etc,定义：简单随机抽样的样本估计量的
13、方差与复杂抽样的样本估 计 量的方差的比率。Deff Var（）为复杂样本估计量的方差。,2.4 设计效果(Design effect,Deff),设计效应,基什（L.Kish）提出 比较不同抽样方法的效率.,不放回简单随机抽样简单估计量的方差,某个抽样设计在同样样本量条件下估计量的方差。,Deff的作用：（1）评价抽样设计的一个依据,如果deff1，则抽样设计比简单随机抽样的效率低。（2）计算样本量如多阶段抽样的 Deff大约在22.5之间。n=n(deff)n为简单随机抽样所需样本量。,放回简单随机抽样的deff为：常用于复杂抽样样本量的确定；在一定精度条件下，简单随机抽样所需的样本量比较容易得到，复杂抽样的样本量为，,2.5 稀有事件的抽样问题,如果估计的是非常稀有事件的比例，这时总体比例很小，用极限相对误差比极限绝对误差更好些。对于稀有事件，所需的样本量会很大，例如：,针对稀有事件并无法给出确切范围，对总体比例事先不同的假定，所导致的样本量差异非常大。霍丹（Haldane）提出的逆抽样方法:即事先确定一个整数m（m1），进行逐个抽样，直到抽到m个所考虑特征的单元为止.,设n是实际的样本量，则P的一个无偏估计为当 n比较大，时,很接近于1,规定了 或r、t后，就可以确定m。如规定=20%，则m=27。可以证明，这时所需样本量n的均值为,
