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1、第3章、矩阵的分解,Matrix Factorization and Decomposition,矩阵分解的概述,矩阵的分解：A=A1+A2+Ak 矩阵的和A=A1A2 Am 矩阵的乘积矩阵分解的原则与意义：实际应用的需要,理论上的需要计算上的需要,显示原矩阵的某些特性矩阵化简的方法与矩阵技术主要技巧：各种标准形的理论和计算方法矩阵的分块,3.1 常见的矩阵标准形与分解,常见的标准形等价标准形相似标准形合同标准形,本节分解：三角分解满秩分解可对角化矩阵的谱分解,AT=A,相似标准形,等价标准形,一、矩阵的三角分解（triangular decomposition),方阵的LU和LDV分解（P.
2、61）LU分解：AFnn，有下三角形矩阵L，上三角形矩阵U，使得A=LU。LDV分解：AFnn，L、V分别是主对角线元素为1的下三角形和上三角形矩阵，D为对角矩阵，使得A=LDV。已知的方法：Gauss-消元法例题1（P.61eg1）设 求A的LU和LDV分解。,结论：如果矩阵A能用两行互换以外的 初等行变换化为阶梯形，则A有LU分解。,三角分解的存在性和惟一性定理3.1（P.62）：矩阵的k 阶主子式：取矩阵的前k行、前k列得到的行列式，k=1，2，n。定理:AFnn有惟一LDV分解的充要条件是A的顺序主子式Ak非零，k=1，2，n-1。,讨论（1）LDV分解的存在LU分解存在（2）矩阵可逆
3、与顺序主子式非零的关系,定理3.2（P.64）设矩阵AFnn，rank（A）=k（n），如果A的k阶顺序主子式大于0，则 A有LU分解。讨论：LDV分解与LU分解的关系例题2（P.65 eg2）LU分解的应用举例：求解线性方程组AX=b,二、矩阵的满秩分解,定义3.2（P.66）对秩为r 的矩阵AFmn，如果存在秩为r的矩阵 B Fmr，CFrn，则A=BC为A 的满秩分解。,例题2（P.69，eg5）,列满秩,行满秩,定理3.2：任何非零矩阵AFmn都有满秩分解。满秩分解的求法：方法1：方法2例题1（P.68，eg4）方法3,例题3（P.70，eg6）,方法建立 的思想 方法实现的途径,三、
4、可对角化矩阵的谱分解,将方阵分解成用谱加权的矩阵和谱：设AFnn，则A的谱=1，2，s。,，P具性质：,1.可对角矩阵的谱分解分解分析：分解结果：,幂等矩阵,意义：可对角化矩阵可以分解成以谱加权的幂等矩阵的加权和,2、矩阵可以对角化的一个充要条件 定理3.5（P.73）矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱分解，满足条件：,充分性的证明：在A有谱分解时 Cn=V 1V 2 V n,3.幂等矩阵的性质 定理3.4（P.72）PFnn，P2=P，则矩阵PH和矩阵（IP）仍然是幂等矩阵。P 的谱0，1，P 可相似于对角形。Fn=N（P）R（P）N（P）=V=0，R（P）=V=1 P和（I P）的关系
5、 N（I P）=R（P），R（I P）=N（P）Hermite 矩阵的谱分解定理3.6（P.73）设A是秩为k的半正定的Hermite 矩阵，则A可以分解为下列半正定矩阵的和。A=v1v1H+v2v2H+vkvkH,3.2 Schur 分解和正规矩阵,已知：欧氏空间中的对称矩阵A可以正交 相似于对角形。讨论：一般方阵A，在什么条件下可以 酉相似于对角矩阵？在内积空间中讨论问题，涉及：空间 Cn、Cnn，酉矩阵U，UHU=I，U 1=UH酉相似：UHAU=J U1 AU=J 相似关系,重点：理论结果,列向量是空间Cn中的标准正交基,一、Schur 分解,1、可逆矩阵的UR分解 定理3.7（P.7
6、4）ACnn为可逆矩阵，则存在酉矩阵U和主对角线上元素皆正的上三角矩阵R，使得A=UR。（称A=UR为矩阵A的酉分解）证明：源于Schmidt正交化方法（P.18）例题1 求矩阵A的UR分解，其中,定理3.8（P.76）：设矩阵ACmn是列满秩的矩阵，则矩阵A可以分解为A=QR，其中Q Cmn的列向量是标准正交的向量组，R Cnn是主对角线上元素为正数的上三角形矩阵。,QR分解,2、Schur 分解定理3.7（P.74）对矩阵ACnn，存在酉矩阵U和上三角矩阵T，使得 UHAU=T=,证明要点：A=PJ AP1，P=URA=PJ AP1=U（RJR1）UH=UTUH。,二、正规矩阵（Norma
7、l Matrices）,1、定义3.3（P.77）A是正规矩阵 AHA=AAH。常见的正规矩阵：对角矩阵对称和反对称矩阵：AT=A，AT=A。Hermite矩阵和反Hermite矩阵：AH=A，AH=A正交矩阵和酉矩阵：ATA=AAT=I，AHA=AAH=I。例题1（P.78，eg 10）设A为正规矩阵，B酉相似于A，证明B也是正规矩阵。,正规是酉相似的不变性质,例题2、AFmn，矩阵AHA 和矩阵AAH是正规矩阵。,2、正规矩阵的基本特性定理3.10（P.78）：ACnn正规A酉相似于对角形。推论：正规ACnnA有个标准正交的特征向量构成空间Cn 的标准正交基。定理3.11（P.80）（正规矩阵的谱分解）A正规A有如下谱分解：,Hermite性,3、正规性质的应用举例例题1（P.79，eg11）例题2（P.79，eg12）例题3 设ARnn，AT=A，证明A的特征值是零和纯虚数。矩阵A的秩是偶数。,
