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1、第八章 建立实验数学模型的一般方法,获得变量间关系方式：1 纯数学推导得出理论公式2 将实验数据整理成反映变量间关系的数学模型，解决实际问题。利用实验数据获得数学模型两个步骤：确定函数形式求公式系数,第一节 寻求数学模型函数形式的几种方法 由实验数据建立数学模型，关键的问题是如何确定变量间可能存在的函数形式。确定数模的函数形式：实验理论(专业)经验 据实验曲线的形状确定函数形式,1由实验理论推求数模的函数形式 相似理论，准则数之间的函数形式 Nu=f(Re,Pr)=a Re b Pr c 准则数：几个参量综合而成无因次量，有一定的物理意义。,2利用经验确定数模函数形式（1）常用n次多项式拟和实
2、验数据，即工程热力学，比热随热力学温度变化关系（2）多元问题，多元线性方程：,（3）指数函数应用于放射性同位素测化石年代、概率中的指数分布、细菌的繁殖、原子弹的裂变、元素的衰减、化学反应速度、室内空气品质污染物含量（4）S型曲线主要用于描述动、植物的自然生长过程，又称生长曲线.,（5）对数函数 将乘法运算转换成加法运算，降低复杂度 声压值 空气品质气味浓度 应用于PH值的计算（6）幂函数 传热准则数关联式 幂级数（7）双曲线函数是拟合地基沉降、水泥土桩极限承载力曲线中常用的函数形式,3将实验数据标绘成曲线，与各种典型曲线对照，确定函数形式。,第二节 建立n次多项式的数学模型,理论和经验证明，当
3、次数增加时，通常可以达到与原函数的任意接近程度。如果有n+1 对实验数据（xi,i），可以把数模选成n次多项式的形式。解n+1 个 yi=(xi)方程组，即可求出n+1 个未知的系数 a0，al,a2,.an之值。,一、n 次多项式项数的确定 用差分检验法决定多项式模型的项数步骤：选取成等差数列的自变量数值xi，列出对应xi的 yi 值一阶差分，二阶差分，三阶差分，作出差分表。,原则：当第n阶差分列内所有的数值接近相等时，就意味着用n次多项式来表示未知函数已足够准确。,（t，T）,求二次多项式模型的系数 c=a0+a1T+a2T2,牛顿插值公式,用两点插值，从直线方程点斜式出发，y(x)=y0
4、+推广到具有n+1 个插值点的情况,牛顿插值公式,牛顿插值公式的优点是：增加一个节点时，只要再增加一项就行了,x y yn(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)(x-x1)+bn(x-x0)(x-xn-1)展开成如下形式：确定 a0,a1,a2,牛顿插值公式,y=,二次多项式,三次多项式,(x-x0)(x-x1)(x-x2),(x-x0)(x-x1),例8-2 求 8-1 二次多项式模型的系数 c=a0+a1 T+a2 T2 求二次多项式系数用到a0-y0 y0 2y0 h x0 x1 a1-y0 h 2y0 x0 x1 a2-2y0 h,y0 2y0 c0、2c0 取平均值,c0、
5、2c0 取平均值,除了与差分有关，a0与 x0、y0 有关，a1与 x0 有关，用其它点作为x0、y0 代入，求出不同的a0、a1 a0、a1取平均值,a 2 与 x0,y0无关,取平均值，数学模型为：与工程热力学结果一致。c 计算，与实测 c 比较，两者完全吻合。插值法要求曲线过实验点。过分地追求符合实验数据（即使曲线通过实验点）也是徒劳无益的。,y=f(x),y=p(x),采用牛顿插值公式，求二次多项式数模的系数，与回归分析或曲线拟合法不同。不同点：插值是通过实验点连接曲线回归和拟合是在实验点附近找出较靠近的曲线 插值公式所求出的结果要准确些(前提：测量数据准确无误差)，实验误差敏感,第三
6、节 根据实验曲线选取数学模型,理论推导和专业经验均无法确定函数形式多项式方次高 根据实验曲线选取数学模型步骤：将实验数据标绘成曲线按曲线的形状，对照各种典型曲线，初选一个函数形式用直线化检验法鉴别选择是否合理,一、数模选择的直线化法 直线化转化：所选出的函数 y f(x)转换关系（根据原函数特点）：X=（x,y）Y=（x，y）转换成线性函数 Y=A+B*X，所选函数是否可行的检验方法是：将已知（实测）的（xi,yi）值，代入变量转换公式求出成对新变量值（Xi,Yi)以新变量为坐标，将新变量值绘在直角坐标（X,Y）上如果这些坐标点接近一条直线，表明所初选的模型公式 yf(x)合适,例8-3 在研
7、究某化学反应速度时，得到的数据见表 8-5，t为从实验开始算起的时间；y为在反应混合物中物质的量，选择一个合适的数学模型。,【解】首先将所得实验数据标绘在图上。初选模型（图8-3 指数函数，b 0）,验证初选模型是否正确 将公式两边取对数直线化。,（t,lgy）为坐标轴的图8-1上。这些点都落在一条直线上，证明所初选的数学模型是合理的。,直线关系,二、适合于线性化的典型函数及图形 为便于将实验曲线与典型曲线相对照初选数学模型 列出了一些非线性方程、典型图示和线性化的变换方法。,并非所有函数形式均能设法转换为直线关系通常对含有两个系数的方程最适合,1 幂函数模型幂函数模型的一般形式为：对上式两边
8、取对数得到：令则可将原模型化为标准的线性回归模型：,幂函数最重要的应用就是级数。利用幂级数，可以把任意一个函数表示成多项式，方便近似计算.,2 指数函数模型指数函数模型的一般形式为对上式两边取对数得到令则可将原模型化为标准的线性回归模型；,放射性同位素测化石年代，概率中的指数分布，细菌的繁殖，原子弹的裂变，元素的衰减，室内空气品质污染物含量,3 对数函数模型对数函数模型的一般形式为：令则可将原模型化为标准的线性回归模型,对数函数应用于PH值的计算PH=-lg(H+),4 双曲线函数模型双曲函数模型的一般形式为：令则可将原模型化为标准的线性回归模型,x y=1 双曲线函数,双曲线函数是拟合地基沉
9、降、水泥土桩极限承载力曲线中常用的函数形式,S型曲线主要用于描述动、植物的自然生长过程，又称生长曲线.一般，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每一个阶段的发展速度各不相同。通常在发生阶段，变化速度较为缓慢；在发展阶段，变化速度加快；在成熟阶段，变化速度又趋缓慢.,按上述三个阶段发展规律得到的变化曲线为生长曲线。,。,5 S-型曲线（生长曲线）模型,5 S-型曲线（生长曲线）模型S-型曲线模型的一般形式为：首先对上式做倒数变换得：令则可将原模型化为标准的线性回归模型,6 多项式函数模型多项式函数模型的一般形式为：令则可将原模型化为标准的线性回归模型,非线性方程进行线性化的典型实例，表 8-6
10、。附录8中更多的典型曲线，排列成表以供对照选取数模。,对于每一个函数，针对不同的系数值，给出了许多条曲线。注意：实验曲线可能只与典型曲线的一部份（在某区间内）相同。试验曲线的不同部分对应不同的典型曲线。所得的数学模型，应严格限制在相应范围内使用。,例 8-4 试求办公楼类建筑，空调所需冷冻机容量R（kJ/h）与建筑规模（面积At)大小的经验总结公式。,（一）在直角坐标上绘制容量曲线。对照典型曲线初选函数形式 实际曲线与图 8-2 的幂函数，y=axb 当 b 1 时的曲线非常相似。初选函数形式 R=aAt b,图 8-7 冷冻机容量曲线,（二）进行线性化转换 对上式取对数，得：lgR=lga+
11、b lgAt 新变量：Y=lgR X=lgAt,图 8-8 线性化后的冷冻机容量曲线,（三）验证所选公式 将已知数据，在双对数坐标上绘制容量曲线。此曲线呈一直线，说明初选函数符合实际情况。,（四）求公式系数 a 和 b 在表 8-7 中取直线上相距较远两点的数At1=0.73,R1=25;A t2=2.50,R 2=91代入模型公式中lgR=lga+blgAt求得公式系数：a=34.8;b=1.049 经验公式为：R 34.8At 1.049,第四节 求数学模型公式系数的方法,选择数模的函数形式根据实测数据来确定数学模型公式系数确定数学模型公式系数 实现：工具软件原理上：一、用图解法求公式系数
12、二、用平均值法求数学模型的公式系数三、用最小二乘法求数模公式系数,1 当所研究的函数形式是线性时，Y=A+B X(8-12)其中系数 A 为该直线与 Y 轴的截距；系数 B 为该直线的斜率。系数 A 可由直线与 Y 轴的交点的纵坐标定出。系数 B 可由直线与 ox 轴夹角的正切（tg）求。用图解法很直观，也能达到一定精度。2 也可选取直线上相互距离较远的两个点（两点一线），即两对实测数据（X1,Y1)(X2,Y2)代入模型（8-12）式直接求解两方程，即,一、用图解法求公式系数,例 在水流量恒定下，对冲洗锅炉水处理装置的滤料，得出洗涤水浓度 c 与时间t的关系，求数学模型。,绘图与标准曲线比较
13、判断曲线类型 lnC=lnC0+A t 将实验数据绘在半对数纸上 所有点均在一条直线上，所选指数模型是正确的。,在表中选择两对相距“较远”的数据，如 t1 1,C1=6.6,t2=8,C2=0.56 代入模型中,求A,C0 所求数学模型为,二、用平均值法求数学模型的公式系数 两点确定一条直线，将任何两对数据代入直线方程，解出直线公式的系数。有 2n 对实验数据，能求出n组不同的公式系数，取其平均结果。如何求平均？将已知数据，分成两组，直接计算出平均系数,具体步骤：利用直线化方法得出线性方程 Y=A+B X 后，列出条件方程 Yi=A+B X i.每一对（Xi，Yi）就有一个条件方程，实验数据为
14、n对，条件方程有n个，近似直线n条。将所有n个方程等分成两大组。当 n 为奇数时，两组近似相等。再把每大组的条件方程相加，得出两个方程。,解此两方程，求得“平均”意义下的系数 A 和 B 值。分组方法：通常按实验数据的先后次序，从中间近似分段，联立求解。这样分组往往可以得出满意的结果。,所求数学模型为：为检查此数学模型，将实测的自变量 ti逐个代入公式，计算出y值，再与实测值yi相比较。比较结果：结果满意。,三、用最小二乘法求数模公式系数(xi，yi),yi=f(xi)，找出一个（xi）使 达到最小。（xi）就是最小二乘法得到的数学模型。得到的数模或曲线能更好的接近真实值。最小二乘法用于求取各
15、种多项式的系数是很常见的。具体分析（怎样判断偏差平法和最小）见第九章第二节。,可以直接用统计软件进行最小二乘回归,一元m次多项式,确定式中的 a0,a1,a2,am的值。正规方程：,式中,（i=1,2,3，n对实测数据）,求公式系数 a0,a1,a2,a3。m=3,n=10组数据，2m=6,p（Sp）有 2m+1=7个值；m=3，q(Vq)有 m+1=4个值,可以直接用统计软件进行最小二乘回归,四、用回归分析法求模型系数 当根据实验数据（xi,yi)，已初步选出其间的函数形式（或表达曲线）。如果我们将各数据点距这条最可能的曲线，在y方向的“距离”（实为偏差）之总和达到最小，就称 y 在x下向这条曲线回归。关于回归分析的基本原理留待第九章叙述。回归分析法确定公式系数，适用范围较广，对多元线性或非线性函数均可使用。由于本章所讨论的内容仅限于一元线性函数，故从y a+b 出发，来讨论求回归系数 a、b 的方法。按后面将要详述的最小二乘方法，通过解正规方程，便可直接按下式求出 a、b，即 式中 为各自的平均值。,本章重点讨论了：确定数学模型形式的方法实验理论经验曲线确定系数的方法图解法平均值法最小二乘法工具软件,第八章 结束谢谢！,
