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1、主要内容,第四节 矩阵相似的条件,引理,矩阵相似的条件,一、引理,在求一个数字矩阵 A 的特征值和特征向量时曾,出现过-矩阵 E-A，我们称它为 A 的特征矩阵.,这一节的主要结果是证明两个 n n 数字矩阵 A 和,B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 E-A,和 E-B 等价.,为了证明这一结论，先来证明下面,两个引理.,引理 1 如果有 n n 数字矩阵 P0,Q0 使,E-A=P0(E-B)Q0，(1),则 A 与 B 相似.,证明,因 P0(E-B)Q0=P0Q0-P0BQ0，,它又与 E-A 相等，进行比较后应有,P0Q0=E，P0BQ0=A.,由此 Q0=P0-1，而 A=P0
2、BP0-1.,故 A 与 B 相似.,引理 2 对于任何不为零的 n n 数字矩阵 A,和-矩阵 U()与 V()，一定存在-矩阵 Q(),与 R()以及数字矩阵 U0 和 V0 使,U()=(E-A)Q()+U0，(2),V()=R()(E-A)+V0，(3),证明,把 U()改写成,U()=D0m+D1m-1+Dm-1+Dm.,这里 D0,D1,Dm 都是 n n 数字矩阵，而且,D0 0.,如 m=0，则令 Q()=0 及 U0=D0，它,们显然满足引理 2 要求.,设 m 0，令,Q()=Q0m-1+Q1m-2+Qm-2+Qm-1.,这里 Qj 都是待定的数字矩阵.,于是,(E-A)Q
3、()=Q0m+(Q1-AQ0)m-1+.,+(Qk-AQk-1)m-k+.,+(Qm-1-AQm-2)-AQm-1.,要想使等式,U()=(E-A)Q()+U0,成立，只需取,Q0=D0，Q1=D1+AQ0，Q2=D2+AQ1，,Qk=Dk+AQk-1，Qm-1=Dm-1+AQm-2，U0=Dm+AQm-1.,就行了.,用完全相同的办法可以求得 R()和 V0.,证毕,二、矩阵相似的条件,定理 7 设 A,B 是数域 P 上两个 n n 矩阵.,A 与 B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵,E-A 和 E-B 等价.,证明,由,可知 E-A 与,E-B 等价就是有可逆的-矩阵 U()和 V(
4、)使,E-A=U()(E-B)V().(4),先证必要性,设 A 与 B 相似，即有可逆矩阵 T,使 A=T-1BT.,于是,E-A=E-T-1BT=T-1(E-B)T，,从而 E-A 与 E-B 等价.,再证充分性,设 E-A 与 E-B 等价，即有,可逆的-矩阵 U()和 V()使,E-A=U()(E-B)V()(4),成立.,由,存在-矩阵 Q()和 R(),以及数字矩阵 U0 和 V0 使,U()=(E-A)Q()+U0，(5),V()=R()(E-A)+V0，(6),成立.,把,E-A=U()(E-B)V(),改写成,U-1()(E-A)=(E-B)V()，,式中的 V()用(6)代
5、入，再移项，得,U-1()-(E-B)R()(E-A)=(E-B)V0.,右端次数等于 1 或 V0=O，因此,U-1()-(E-B)R(),是一个数字矩阵(后一种情况下应是零矩阵)，记作,T，即,T=U-1()-(E-B)R()，,T(E-A)=(E-B)V0.(7),现在我们来证明 T 是可逆的.,(由),由,T=U-1()-(E-B)R()，,得,E=U()T+U()(E-B)R(),=U()T+(E-A)V-1()R(),(由),=(E-A)Q()+U0T,+(E-A)V-1()R(),=U0T+(E-A)Q()T+V-1()R().,等式右端的第二项必须为零，否则它的次数至少,是 1
6、，由于 E 和 U0T 都是数字矩阵，等式不可能成,立.,因此,E=U0T.,这就是说，T 是可逆的.,由,的第二式得,E-A=T-1(E-B)V0.,再由,知，A 与 B 相似.,证毕,矩阵 A 的特征矩阵 E-A 的不变因子以后就,简称为 A 的不变因子.,因为两个-矩阵等价的充,分必要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理,7 即得,推论 矩阵 A 与 B 相似的充分必要条件是它,们有相同的不变因子.,应该指出 n n 矩阵的特征矩阵的秩一定是 n.,因此，n n 矩阵的不变因子总是有 n 个，并且它,们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式.,以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量,因此我
7、们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因,子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的,不变因子.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,
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