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1、习题课一,第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点.,2.基本公式,（代表同一变量).,两种形式,注意能求的极限形式,3.基本方法*利用函数的连续性求极限；利用四则运算法则求极限；利用两个重要极限求极限；利用无穷小替换定理求极限；,利用分子、分母消去共同的非零公因子求 形式的极限；,利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求 形式的极限；,利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极
2、限.,4.定理 左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性,极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质.,二、学法建议1本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特别是求极限的方法，灵活多样因此要掌握这部分知识，建议同学自己去总结经验体会，多做练习2本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界;无穷大,极限，无穷小，连续等只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，因此同学们要注意弄清它们之间的实质关系3要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等
3、于函数值才连续千万不要求到极限存在就下连续的结论;特别注意判断分段函数在分段点的连续性,三、例题精解 例1 求下列极限:(1),(2),(3),(4),(5),例2 设,问当,为何值时，,是,的间断点?是什么间断点?,四、主要解题方法求函数极限方法*1.利用极限存在的充分必要条件求极限例1 求下列函数的极限：,解,因为左极限不等于右极限，所以极限不存在,小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在,例如习题二 P31 2,2.利用极限运算法则求极限,例2 求下列函数的极限：,(2),(3),(4),(1),小结,(
4、1)应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用,（2）求函数极限时，经常出现,等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。常使用的有以下几种方法,型，往往需要先通分，化简，再求极限，,对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限，,对分子、分母进行因式分解，再求极限，,对于当,时的,型，可将分子分母同时除以分母的最高次幂，然后再求极限,解(1),=,=,(2)当,时，分子、分母极限均为零，呈现,型，不能直接用商的极限法则，可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则原式=,(3)当,时，,的极限
5、均不存在，式,呈现,型，不能直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则即原式=,(4)当,时，分子分母均无极限，呈现,形式需分子分母同时除以,将无穷大的,约去，再用法则求原式=,3.利用无穷小的性质求极限,例3 求下列函数的极限,（1）,（2）,解（1）因为,而,，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决因为,，所以当,时，,是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即,（2）不能直接运用极限运算法则，因为当,时分子，极限不存在，但,是有界函数，即,而,因此当,时，,为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得,小结 利用无穷小与无穷大的关系，可求一类
6、函数的极限（分母极限为零，而分子极限存在的函数极限）；利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限（有界量与无穷小之积的函数极限）,4.利用两个重要极限求函数的极限,例4 求下列函数的极限：,（1）,（2）,解（1）分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限,=,=,（2）,=,小结,型，满足,为无穷小量，指数为无穷大，两者恰好互倒数；,用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公式进行恒等变形或作变量代换，使之成为重要极限的标准形式。,常用等价无穷小:,5.利用等价无穷小代换求极限,例5 求下列函数的极限,（1）,（2）,解（1）,（2）,=,=,=,小结 利用
7、等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式时，一般不能代换其中一项。否则会出错如上题,即得一错误结果,6.利用函数的连续性求极限,例6 求下列函数的极限,（1）,解(1)因为,是初等函数，在,处有定义，所以,（2）,函数,看成由,复合而成，利用分子有理化,=,小结 利用“函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极限。在一定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序,可见,函数,在点,五、函数连续性的定义*,定义:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,有定义,存在;,在
8、,在,六、函数的间断点,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一函数 f(x)在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为间断点.,在,无定义;,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例如:,显然,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳跃间断点.,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳
9、跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,练习,1.讨论函数,x=2 是第二类无穷间断点.,间断点的类型.,2.设,时,提示:,为,连续函数.,答案:x=1 是第一类可去间断点,备用题 确定函数,间断点的类型.,解:间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,2.求,解:,原式=1,本次课结束谢谢同学们,作业：教材习题一,(补充）三、极限,1.极限定义的等价形式,(以 为例),(即 为无穷小),有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.极限存在准则及极限运算法则,3.无穷小,无穷小的性质;,无穷小的比较;,常用等价无穷小:,4.两个重要极限,6.判断极限不存在的方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.求极限的基本方法,例6.求下列极限：,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有,复习:若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.确定常数 a,b,使,解:,原式,故,于是,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
