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1.3 函数极限的性质与运算,定理1.9(唯一性),极限的性质,若 存在,则极限值是唯一的.,定理1.10(局部有界性),若 存在,则 在 x0的某个空心邻域,内有界.,定理1.11(局部保号性),与 A 同号.,1.设 且,1.3.2 极限的运算法则,定理1.12(极限四则运算法则),则有,设,推论1 如果,即:常数因子可以提到极限记号外面.,推论2 如果,推论1.2(局部保序性),则在 x0的某个空心邻域内有,2.若在 x0的某个空心邻域内有,则,则,有,利用极限的运算法则和上节的两个结果,我们可以求解一些简单的极限问题：,对于的多项式函数,例1,一般地,设,则商的法则不能使用.,则当,例2 求,消去零因子法,例3,例4,分子、分母同时除以 x 的最高次幂.,一般地,当,例5 求,定理1.13(复合函数的极限运算法则),设,且存在,推论 若,例,则,则复合函数,时的极限也存在,且,例6 求,如果数列 收敛于A,则它的任意子数列,推论1.3(收敛数列与其子数列间的关系),也收敛于A.,如果,推论1.4(函数极限与数列极限之间的关系),则对任意满足,用此结论同样可以证明函数极限不存在.,且 的数列 有,练习,解,原式,答案,原式,(2)求,(1)求,解,原式,(3)求,(4)试确定常数 a,使,解,令,则,即,
