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1、一、基本概念及结论,1.定义：,2.可积(充分)条件：,第五章:定积分与广义积分,(4)定积分的几何意义:,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,3.定积分的性质:,例1.估计积分值:,所以,如果函数f(x)在区间a,b上连续，则在a,b上至少存在一点,(8)积分中值定理：,注,4.定积分的计算方法,（1）NewtonLeibniz公式：,注1：,注2 NewtonLeibniz公式表明：,(2)求定积分问题转化为求原函数不定积分的问题.,(2)定积分的换元积分,注：变量不必回代；用凑微分法求定积分时若用同除法（同除一因子），此因子在积分范围内不能为0.,（3）定积分的分部积法,5.广义积分,
2、(1)无穷区间上的广义积分,(2)无界函数的广义积分(瑕积分),（3）性质：,1,6,7,8,9,记住以下几个广义积分的敛散性：,利用以上结论可直接判定一些广义积分的敛散性:,6.微积分的常用公式,奇函数,偶函数,(2)若,则,二、基本问题及解法,问题(一)有关变上限积分的运算,问题(二)：定积分的计算,例1.,例3.求,解：由于被积函数,例2.,例1 计算,解:设,于是,例2 计算,解 设,定积分的分部积分公式,定积分的分部积分公式的适用范围及使用方法与不定积分类同,例1 计算,例2 计算,解,解 令,例3.计算,注:仅当右端两个极限都存在时,左端的积分才收敛.,例1.计算,解,另解,例2.
3、计算,另解,注1;右端的极限存在时,左端的广义积分收敛,否则发散.,注2：当且仅当上述两个极限同时存在时,广义积分收敛,例3:计算广义积分,解:因,所以,另解,问题(三)定积分的应用,1.面积的基本公式,2.求面积的步骤:,画草图.,解,另解.,画草图.,得交点,解.,由,所求面积为:,或,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,2.旋转体体积的基本公式,(底在坐标轴的曲边梯形),(化为底在坐标轴的曲边梯形旋转),例1.求圆形,绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积.,解.所求体积为:,2,面积,问题(四)与定积分有关的证明题,又,证明：因为 在 上连续，所以,在 上取得最小值 和最大值，即,定积分与广义积分课后练习,
