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1、第六章 微分方程与数学建模,第一节 微分方程第二节 微分方程在数学建模中的应用,第一节 微分方程,一、微分方程的基本概念二、一阶微分方程三、一阶线性微分方程及可降阶的高阶微分方程四、二阶常系数线性微分方程,一、微分方程的基本概念,1.引例,解,2.微分方程的基本概念,凡是表示未知函数、未知函数的导数（或微分）与自变量之间关系的方程 称为微分方程.微分方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的“阶”，未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程,如果自变量为x，未知函数为y，则n阶微分方程的一般形式为,任何满足微分方程的函数都称为微分方程的解.如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程
2、的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解.不含任意常数的解称为微分方程的特解.用来确定方程通解中任意常数的条件称为方程的初始条件.求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.,二、一阶微分方程,一阶微分方程的一般形式为,1.可分离变量的微分方程,2.齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,解法,作变量代换,代入原式,变量可分离的微分方程,定义,三、一阶线性微分方程及可降阶的高阶微分方程,一阶线性微分方程,的标准形式,:,上方程称为,齐次的,.,上方程称为,非齐次的,.,1.一阶线性齐次方程 的解法,齐次方程的通解为,(使用分离变量法),2.一阶线性非齐次方程 的解法,对应齐次方程,解法：常数变易法
3、,先求出对应齐次方程,的通解：,再令C=u(x)，即,为原方程的解，,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,变易常数应满足的条件,3.可降阶的高阶微分方程,四、二阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性微分方程的形式,二阶常系数线性微分方程的一般形式,称为二阶常系数非齐次线性微分方程.,1.二阶常系数齐次线性方程,1)解的性质,将其代入上方程,得,故有,特征方程,特征根,2)通解的求法,（1）有两个不相等的实根,两个特解,得齐次方程的通解为,特征根为,（2）有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,（3）有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,2.二阶常系数非齐次线性微分方程,设非齐方程特解为,代入原方程,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,特别地,利用欧拉公式,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,
