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1、第三章 直线与方程,1、自学课件；2、可脱离课本，达到最好的教学效果；3、祝各位同学练就融会贯通的能力！,直线的倾斜角和斜率,3.1直线的倾斜角与斜率,开场白,论数形结合:数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休;切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离.,华罗庚,小游戏：黄金矿工,游戏成功过关的秘诀是什么？,玩玩看,l,提问1：在平面直角坐标系内，如何确定一条直线呢？,提问2：那么过一点可以画多少条直线？,提问3：这些直线有何异同点？,提问4：过一点再加什么条件就可以确定直线？,直线倾斜角的定义：,y,o,x,P,l,当直线 与 轴
2、相交时，我们取 轴作为基准，轴正向与直线 向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角.,当直线 与 轴相交时，我们取 轴作为基准，轴正向的单位向量与直线 向上方向的单位向量之间所成的角 叫做直线的倾斜角.,倾斜角的向量法定义,规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0.,标出下列直线的倾斜角,看图说话:直线倾斜角的范围,辨一辨:你认为下列说法对吗？,1、在平面直角坐标系内，每一条直线都有一个确定的倾斜角与它对应。,对,错,2、在平面直角坐标系内，每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。,一点+倾斜角 确定一条直线,结论:在平面直角坐标系内，,(形),生活中有关倾斜程度的问题,飞机起飞,斜拉桥,炮弹
3、射击,楼梯,仁皇阁效果图,坡,度,在生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即,设直线的倾斜程度为,直线的斜率,我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母 表示,即,思考：（1）是否所有的直线都有倾斜角？（2）是否所有的直线都有斜率？,倾斜角为 的直线,斜率不存在.,探究一 倾斜角与斜率的关系,完成下表，并描点.,不存在,倾斜角与斜率的关系,k=0,k不存在,k0递增,k0递增,锐角,P,根据正切函数的定义：,已知直线上两点：P1（x1，y1），P2（x2，y2），如何求斜率？,探究二 斜率公式,钝角,P,根据正切函数的定义：,思考：当
4、的位置对调时，值又如何呢？,想一想?,1、当直线平行于x轴，上述公式还适用吗？,答：成立，因为分子为0，分母不为0，所以K=0.,答：不成立，因为分母为0.,想一想?,2、当直线垂直于x轴，上述公式还适用吗？,直线的斜率公式,和谐,(数),倾斜角,斜率,(形),联姻,学以致用，举一反三,、如图，已知A(3,2)、B(-4,1)、C(0,-1)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线的倾斜角是什么角？,直线AB的斜率,直线BC的斜率,直线CA的斜率,直线CA的倾斜角为锐角。,直线BC的倾斜角为钝角，,解：,直线AB的倾斜角为锐角，,例1,变式1：点B的坐标改为（-4，2），此时直线AB的
5、斜率和倾斜角分别是多少？,变式2：点B的坐标改为（3，1），此时直线AB的斜率和倾斜角分别是多少？,例1、如图，已知A(3,2)、B(-4,1)、C(0,-1)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线的倾斜角是什么角？,斜率为0 倾斜角为0.,斜率不存在 倾斜角为,已知 都是正实数，并且，求证：,学以致用,即证,例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2和-3的直线。,解：（待定系数法）,设直线上另一点A1(1,y),则：,所以过原点和A1(1,1)画直线即可,说明：也可设其它特殊点,反思小结，画龙点睛,同学们这节课有何收获？,形与数的联姻,倾斜角与斜率,联姻关系,
6、结束语：,华罗庚论数形结合:数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休;切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离.,数缺形时少直觉,形少数时难入微;,两点之间最短的距离并不一定是直线!,我们可以选择有困难绕过去，有障碍绕过去，也许这样做事情更加顺利!,共勉：,思考题：若直线的斜率k满足：,则直线的倾斜角a的范围是,变式：若，则K的取值范围_,思考题：为什么利用正切函数来刻画直线的倾斜程度？,3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定,复习1：,三要素,o,x,y,有平行,相交两种,复习2：平面上两条直线位置关系,我们设想如何通过直线的斜率来
7、判定这两种位置关系.,思考1:若两条不同直线的倾斜角相等，这两条直线的位置关系如何？反之成立吗？,探究（一）：两条直线平行的判定,思考2:若两条不同直线的斜率相等，这两条直线的位置关系如何？反之成立吗？,L1/L2,前提:两条直线不重合,直线倾斜角相等,k1=k2,或k1，k2都不存在,L1/L2,两条直线平行，它们的斜率相等吗？,结论1:,当L1/L2时，有k1=k2，或k1，k2都不存在，那么L1 L2时，k1与k2满足什么关系？,探究（二）两条直线垂直的判定,L1 L2,k1k2=1,或直线L1 与 L2中有一条斜率为零,另一条斜率不存在,两条直线垂直，一定是它们的斜率乘积为1这种情况吗
8、？,结论2:,例题讲解,例1 已知A、B、C、D四点的坐标，试判断直线AB与CD的位置关系.（1）A（2，3），B（4，0），C（3，l）,D（l，2）；（2）A（3，2），B（3，10），C（5，2）,D（5，5）.（3）A（6，0），B（3，6），C（0，3），D（6，6）（4）A（3，4），B（3，100），C（10，40）,D（10，40）.,例2.已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1），Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论。,A,X,Y,B,P,Q,例3 已知四边形ABCD的四个顶点 分别为A（0，0），B（2，1），C（4，2），D（2，3），试
9、判断四 边形ABCD的形状，并给出证明.,例4、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3）Q（6，6），判断直线AB与PQ的位置关系。,例5、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判断ABC的形状。,￥,例6 已知点A（m，1),B(-3，4),C（1，m),D（1，m1),分别在下列条件下求实数m的值:（1）直线AB与CD平行；（2）直线AB与CD垂直.,学完一节课或一个内容，应当及时小结，梳理知识,学习必杀技:,一、知识内容上,L1/L2 k1=k2,（前提:两条直线不重合,斜率都存在）,L1 L2 k1k2=-1,（前提：两条直线都有斜率，并且都不等于零.）,二、思想
10、方法上,（1）运用代数方法研究几何性质及其相互位置关系,（2）数形结合的思想,作业:P89练习：1，2.P90习题3.1 A组：8.B组：3，4.,3.2直线的方程,3.2.1直线的点斜式方程,2023/10/1,46,兴山一中高一数学组,47,2023/10/1,教学目的,使学生掌握点斜式方程及其应用，掌握斜截式方程及其应用，知道什么是直线在y轴上的截距。教学重点：点斜式方程、斜截式方程及其应用。教学难点：斜截式方程的几何意义。,48,2023/10/1,复习回顾,两条直线平行与垂直的判定,条件：不重合、都有斜率,条件：都有斜率,49,2023/10/1,如果以一个方程的解为坐标的点都上某条
11、直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线.,直线方程的概念,新课讲授,50,2023/10/1,已知直线l经过已知点P1（x1，y1），并且它的斜率是k，求直线l的方程。,l,根据经过两点的直线斜率公式，得,由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程，叫直线的点斜式方程。,1、直线的点斜式方程：,设点P（x，y）是直线l上不同于P1的任意一点。,51,2023/10/1,1、直线的点斜式方程：,(1)、当直线l的倾斜角是00时，tan00=0,即k=0，这时直线l与x轴平行或重合,l的方程：y-y1=0 或 y=y1
12、,(2)、当直线l的倾斜角是900时，直线l没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合,l的方程：x-x1=0 或 x=x1,52,2023/10/1,点斜式方程的应用：,例1：一条直线经过点P1（-2，3），倾斜角=450，求这条直线的方程，并画出图形。,解：这条直线经过点P1（-2，3）,斜率是 k=tan450=1,代入点斜式得,y3=x+2,O,x,y,-5,5,P1,53,2023/10/1,1、写出下列直线的点斜式方程：,练习,54,2023/10/1,2、直线的斜截式方程：,已知直线l的斜率是k，与y轴的交点是P（0，b），求直线方程。,代入点斜式方程，得l的直线方程：y-b=k（x-
13、0）,即 y=k x+b。,(2),直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距。,方程(2)是由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方程(2)叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。,55,2023/10/1,斜截式方程的应用：,例2：斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。,解：由已知得k=5，b=4，代入斜截式方程,y=5x+4,斜截式方程:y=k x+b 几何意义：k 是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距,56,2023/10/1,练习,3、写出下列直线的斜截式方程：,57,2023/10/1,练习,4、已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直线l的方程,解：直
14、线l过点A（3，-5）和B（-2，5）,将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得,y(5)=2(x3)即 2x+y 1=0,58,2023/10/1,例题分析：,59,2023/10/1,练习,判断下列各直线是否平行或垂直(1)(2),60,2023/10/1,直线的点斜式，斜截式方程在直线斜率存在时才可以应用。直线方程的最后形式应表示成二元一次方程的一般形式。,总结：,斜截式方程:y=k x+b 几何意义：k 是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距,点斜式方程：y-y1=k(x-x1),直线L1:y=k 1x+b1,L2:y=k2x+b2,61,2023/10/1,练习,5、求过点（1，2）且
15、与两坐标轴组成一等腰直角三角形的直线方程。,解：直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 k=1,直线过点（1，2）代入点斜式方程得,y-2=x-1 或y（）,即0或0,62,2023/10/1,练习,巩固：经过点（-，2）倾斜角是300的直线的方程是（A）y=（x2）（B）y+2=（x）（C）y2=（x）（D）y2=（x）已知直线方程y3=（x4），则这条直线经过的已知 点，倾斜角分别是（A）（4，3）；/3（B）（3，4）；/6（C）（4，3）；/6（D）（4，3）；/3 直线方程可表示成点斜式方程的条件是（A）直线的斜率存在（B）直线的斜率不存在（C）直线不过原点（D）不同于上述答案,63,20
16、23/10/1,已知A（0，3），B（-1，0），C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、C、D按逆时针方向排列）。,64,2023/10/1,注意：,直线上任意一点P与这条直线上一个定点P1所确定的斜率都相等。,当P点与P1重合时，有x=x1，y=y1，此时满足y-y1=k（x-x1），所以直线l上所有点的坐标都满足y-y1=k（x-x1），而不在直线l上的点，显然不满足（y-y1）/（x-x1）=k即不满足y-y1=k（x-x1），因此y-y1=k（x-x1）是直线l的方程。,如直线l过P1且平行于x轴，则它的斜率k=0，由点斜式 知方程为y=y0;如果直线l过P1
17、且平行于Y轴，此时它的倾斜角是900，而它的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，但这时直线上任一点的横坐标x都等于P1的横坐标所以方程为x=x1,P为直线上的任意一点，它的 位置与方程无关,O,x,y,P1,P,直线的两点式方程,y=kx+b,y-y0=k(x-x0),1).直线的点斜式方程：,2).直线的斜截式方程：,k为斜率，P0(x0,y0)为直线经过的点,k为斜率，b为截距,一、复习、引入,解：设直线方程为：y=kx+b.,例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方程,一般做法：,由已知得：,解方程组得：,所以，直线方程为:y=x+2,简单的做法：,化简得：x-
18、y+2=0,还有其他做法吗？,为什么可以这样做，这样做的根据是什么？,kPP1=kP1P2,即：,得:y=x+2,设P(x,y)为直线上不同于P1，P2的动点，与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上，根据斜率相等可得：,二、直线两点式方程的推导,已知两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，求通过这两点的直线方程,解：设点P(x,y)是直线上不同于P1，P2的点,可得直线的两点式方程：,kPP1=kP1P2,记忆特点：,推广,左边全为y，右边全为x,两边的分母全为常数,分子，分母中的减数相同,不是!,是不是已知任一直线中的两点就能用两点式 写出直线方程呢？,两点式不能表示平行于坐标轴或与
19、坐标轴重合的直线,注意：,当x1 x2或y1=y2时，直线P1 P2没有两点式方程.(因为x1 x2或y1=y2时，两点式的分母为零，没有意义),那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢？,三、两点式方程的适应范围,若点P1（x1,y1），P2（x2,y2）中有x1 x2,或y1=y2,此时过这两点的直线方程是什么？,当x1 x2 时方程为：x x,当 y1=y2时方程为：y=y,例2：如图，已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a0,b0,求直线l 的方程,解：将两点A(a,0),B(0,b)的坐标代入两点式,得：,即,所以直线l 的方程为：,四、直线的截距
20、式方程,a,b,截距可是正数,负数和零,注意：,不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线,直线与x轴的交点(o,a)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？,截距式直线方程:,直线与y轴的交点(b,0)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距,过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相 等的直线有几条?,解:两条,例3:,那还有一条呢？,y=2x(与x轴和y轴的截距都为0),所以直线方程为：x+y-3=0,a=3,把(1,2)代入得：,设 直线的方程为:,解：三条,过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?,解得：a=b=3或a=-b=-1,直线方程为：
21、y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x,设,例4:已知三角形的三个顶点是A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上中线的直线方程。,解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：,整理得：5x+3y-6=0,这就是BC边所在直线的方程。,五、直线方程的应用,BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：,即,整理得：x+13y+5=0这就是BC边上中线所在的直线的方程。,过A(-5,0),M 的直线方程,中点坐标公式：,则,B(3,-3),C(0,2)M,思考题：,已知直线l 2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对称的直线
22、l 1的方程。,解：当x=0时，y=-3.(0,-3)在直线l上，关于(1,2)的对称点为(2,7).,当x=-2时，y=1.(-2,1)在直线l上，关于(1,2)的对称点为(4,3).那么，点(2,7)，(4,3)在l 1上,因此，直线l 1的方程为：,化简得:2x+y-11=0,还有其它的方法吗？,l l 1，所以l 与l 1的斜率相同，,kl1=-2,经计算，l 1过点(4,3),所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4),化简得：2x+y-11=0,3)中点坐标：,小结：,1)直线的两点式方程,2)两点式直线方程的适应范围,2023/10/1,直线的一般式方程,2023/10/1,
23、(一)填空,2023/10/1,（二）填空1过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是_ 2过点(2,1)，斜率为0的直线方程是_ 3过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是_,思考1：以上三个方程是否都是二元一次方程?,所有的直线方程是否都是二元一次方程？,2023/10/1,思考2：对于任意一个二元一次方程（A，B不同时为零）能否表示一条直线？,2023/10/1,总结:,由上面讨论可知,(1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示,(2)任一关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.,2023/10/1,我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)叫做
24、直线的一般式方程,简称一般式,1.直线的一般式方程,2023/10/1,例1：已知直线经过点A（6，-4），斜率为 4/3，求直线的点斜式、一般式和截距式方程。,解：经过点A（6，-4）并且斜率等于-4/3 的直线方程的点斜式是 y+4=-4/3（x 6）,化成一般式，得 4x+3y 12=0,截距式是：,2023/10/1,例2 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：,2x-y-3=0,2023/10/1,2.二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响,2023/10/1,探究：在方程 中，1.当 时，方程表示的直线与x轴；2.当 时，方程表示的直线与x轴垂直；3.当 时，方程表
25、示的直线与x轴_；4.当 时，方程表示的直线与y轴重合；5.当 时，方程表示的直线过原点.,平行,重合,2023/10/1,3.一般式方程与其他形式方程的转化（一）把直线方程的点斜式、两点式和截距式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点,2023/10/1,注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式。,2023/10/1,（二）直线方程的一般式化为斜截式，以及已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法,2023/10/1,例3 把直线 化成斜截式，求出直线
26、的斜率以及它在y轴上的截距。,解：将直线的一般式方程化为斜截式：，它的斜率为：，它在y轴上的截距是3,思考：若已知直线，求它在x轴上的截距,2023/10/1,求直线的一般式方程 的斜率和截距的方法：（1）直线的斜率（2）直线在y轴上的截距b令x=0，解出 值，则(3)直线与x轴的截距a令y=0，解出 值，则,2023/10/1,例4：利用直线方程的一般式，求过点（0，3）并且与坐标轴围 成三角形面积是6的直线方程。,解：设直线为Ax+By+C=0，,直线过点（0，3）代入直线方程得3B=-C，B=C/3,A=C/4,又直线与x，y轴的截距分别为x=-C/A,y=-C/B,由三角形面积为6得,
27、方程为,所求直线方程为3x-4y+12=0或3x+4y-12=0,2023/10/1,小结,点斜式,斜率和一点坐标,斜截式,斜率k和截距b,两点坐标,两点式,点斜式,两个截距,截距式,化成一般式,3.3直线的交点坐标与距离公式,3.3.1 两条直线的交点坐标,ks5u精品课件,思考?,问题1：方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系有何对应关系？,ks5u精品课件,例1：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y2=0；l2：2x+y+2=0.,练习：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:l1：x2y+2=0，l2：2xy2=0.,解：解方程组,l1与l2的交点是M（-2，2）,l
28、1与l2的交点是（2，2）,设经过原点的直线方程为,y=k x,把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为,y=x,ks5u精品课件,问题2：如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？,ks5u精品课件,例2、判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点的坐标,例题分析,ks5u精品课件,已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0，问当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交，(2)平行，(3)垂直,练习,ks5u精品课件,练习：求经过原点及两条直线l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0的交点的直线的方程.,探究:,ks5u精品课件,知识梳理
29、,问题1：方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？,ks5u精品课件,3.3.2 两点间的距离,ks5u精品课件,已知平面上两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，如何求P1 P2的距离|P1 P2|呢?,两点间的距离,(1)x1x2,y1=y2,(2)x1=x2,y1 y2,(3)x1 x2,y1 y2,ks5u精品课件,已知平面上两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，如何求P1 P2的距离|P1 P2|呢?,两点间的距离,Q,(x2,y1),(3)x1 x2,y1 y2,ks5u精品课件,练习,1、求下列两点间的距离：(1)、A(6，0),B(-2，0)(
30、2)、C(0，-4),D(0，-1)(3)、P(6，0),Q(0，-2)(4)、M(2，1),N(5，-1),ks5u精品课件,例题分析,ks5u精品课件,2、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标；,练习,3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的距离等于10，求点P的纵坐标。,ks5u精品课件,例2、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。,C(a+b,c),y,建立坐标系，用坐标表示有关的量。,把代数运算结果“翻译”成几何关系。,进行有关的代数运算。,ks5u精品课件,练习,4、证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。,(0,0),(a,0),(0,b
31、),ks5u精品课件,平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离公式是,小结,ks5u精品课件,点到直线的距离两条平行直线间的距离,ks5u精品课件,Q,思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,怎样求点P到直线l的距离呢?,点到直线的距离,如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.,ks5u精品课件,当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.,Q,Q,(x0,y1),(x1,y0),ks5u精品课件,点P(-1,2)到直线3x=2的距离是_.(2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是_.,练习1,ks5u精品课
32、件,下面设A0,B 0,我们进一步探求点到直线的距离公式:,思路一,利用两点间距离公式:,ks5u精品课件,ks5u精品课件,P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：,点到直线的距离：,ks5u精品课件,例题分析,例6:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求的 面积,ks5u精品课件,两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.,两条平行直线间的距离：,例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与 l2:Ax+By+C2=0的距离是,ks5u精品课件,1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是_;2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是_.,练习3,ks5u精品课件,练习4,1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.,2、求过点A（1,2），且与原点的距离等于 的直线方程.,ks5u精品课件,2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是,1.平面内一点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式是,当A=0或B=0时,公式仍然成立.,小结,
