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第七章 数学物理方程的变分原理,第一节 变分问题介绍,1、古典变分问题,分析：,空间中的封闭曲线C。最小曲面问题就是求,设曲面方程为uu（x，y）,例：最小曲面问题,张紧在曲线C上的曲面中，其面积最小的曲面。,对应与u的曲面面积为,故s是u的一个泛函，其中u所属的函数集合,这样，最小曲面问题就可以写成如下的泛函极小问题,变分问题：求泛函极值的问题,1.2 二次函数的极值（Rn中的变分问题）,其中,设二次泛函J 在 达到极小，则对于一切,有.,反之,若 显然有,即 点达到极小。,一定条件下二次函数的 极值问题与线性方程组问题等价,第二节、一维数学物理问题的变分问题,引理2.1（变分法基本引理）,2.1 两点边值问题的变分形式,虚功原理,特别地，取，则,根据引理2.1，则,进一步，,则：,自然边界条件，隐含在问题之中,约束边界条件（本质边界条件）,最小势能原理,最小势能原理：,一、第一类非齐次边界条件的定解：,令，则满足：,2.2、非齐次边界条件的处理,Galerkin形式的变分问题：,形式的变分问题为：,其中,其中,将 代入，得到,Galerkin 变分形式：,非齐次边界条件问题的,二、第二第三类边界条件问题：,其中,完全类似地，,与方程作内积有,对第一项分部积分，注意到v(a)0，,得,Galerkin变分形式：,其中,
