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1、一、数项级数及其收敛性,二、数项级数收敛的必要条件,第8章 级数,8.1数项级数的概念和性质,三、函数项级数基本概念,由于式中的每一项都是常数，,定义 1 设给定一个数列 u1,u2,un,，,称为无穷级数.,其中 u1,u2,叫做该级数的项，,un 称为一般项或通项.,所以又叫数项级数，,简称级数，,一、数项级数及其收敛性,称 u1+u2+un+=为部分和数列，记作Sn.,即,这时也称该级数收敛于 S.,若部分和数列的极限不存在，,发散.,例 2 试讨论等比级数,a+ar+ar2+arn-1+(a 0),的收敛性.,当 r 1 时，所给级数的部分和为,由定义 2 知，,该等比级数收敛，,即,
2、所以这时该等比级数发散.,当 r=1 时，,因此该等比级数发散.,部分和数列极限不存在，,故该等比级数发散.,当 n 为奇数，,当 n 为偶数，,试证明其发散.,由此知 f(x)为增函数.,相加得,解 注意到,因此，,所以该级数的和为,即,就有,于是,因此这时必有,这就是级数收敛的必要条件.,二、数项级数收敛的必要条件,事实上，,定理,则,例 5 试证明级数,证,例 6 试讨论级数,解 注意到级数,所以级数发散.,三、函数项级数基本概念,则称点 x0 为函数项级数的一个收敛点.,称为函数项级数，,在函数项级数 中，若令 x 取定义域中某一确定值 x0，,则得到一个数项级数,若上述数项级数收敛，
3、,反之，若上述数项级数发散，则称点 x0 为函数项级数 的发散点.,上述级数的和 S 也随之变动，,称为函数项级数的收敛域.,收敛点的全体构成的集合，,若 x0 是收敛域内的一个值，因此必有一个和 S(x0)与之对应，,即,当 x0 在收敛域内变动时，,就得到一个定义在收敛域上的函数 S(x)，,即,如果我们仿照数项级数的情形，将函数项级数 的前n 项和记为 Sn(x)，且称为部分和函数，,这个函数 S(x)就称为函数项级数的和函数.,那么在函数项级数的收敛域内有,则在收敛域内同样有,解 因为所给级数的部分和函数,所以，它在区间(-1,1)内收敛，,即收敛域为(-1,1).,且所给级数的和函数为,例 1 试讨论,
